光滑映射

流形本身只是"局部像欧氏空间"的舞台，真正的研究对象是流形之间的映射。光滑映射把 $\mathbb{R}^n$ 上的可微性移植到流形上，是定义微分同胚、浸入与浸没与切空间推前映射的前提。

需先掌握微分流形与拓扑流形的坐标卡与图册概念，并熟悉连续映射与同胚。

定义

设 $M,N$ 为微分流形。映射 $f:M\to N$ 称为光滑的，若对任意坐标卡 $(U,\varphi)$ 与 $(V,\psi)$，局部表示

$$\hat f=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap f^{-1}(V))\to\psi(V)$$

是欧氏空间之间的光滑映射（各阶偏导数存在且连续）。全体光滑函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 记为 $C^\infty(M)$。

微分同胚

若 $f$ 是双射且 $f$ 与 $f^{-1}$ 都光滑，则称 $f$ 为微分同胚。存在微分同胚的流形视为具有相同的光滑结构；同一拓扑流形上可以有不等价的光滑结构（exotic structures）。

性质

• 光滑映射的复合仍光滑
• 光滑性可在任意相容坐标卡下检验（过渡映射光滑保证良定义）
• 微分同胚保持维数、紧致性、连通性等流形性质
• 光滑函数的加法与乘法封闭：$C^\infty(M)$ 是环（含幺元常值函数）

示例

• $\mathbb{R}^n$ 上的多项式映射、指数映射
• 李群的群运算与取逆是光滑映射（见李群）
• 自然投影 $\pi:TM\to M$ 是光滑映射（见切丛）

应用

光滑映射是浸入与浸没、子流形（正则值定理）与微分形式拉回的基础；几何中的曲率等量最终都通过光滑映射之间的微分来定义。