张量场

度量、曲率等几何量在坐标变换下按特定规律变化——张量场正是这些"多重线性"几何对象的统一框架。黎曼度量是 $(0,2)$ 型张量场，曲率是 $(1,3)$ 型张量场。

需先掌握切空间与余切空间的对偶配对，并熟悉线性空间上的多重线性映射。

定义

$p$ 处的一个 $(r,s)$ 型张量是多重线性映射

$$T:\underbrace{T_p^*M\times\cdots\times T_p^*M}_{r\ \text{个}}\times\underbrace{T_pM\times\cdots\times T_pM}_{s\ \text{个}}\to\mathbb{R}$$

$(r,s)$ 型张量场是光滑地逐点给出 $(r,s)$ 型张量的对象。在坐标卡下其分量为 $T^{i_1\dots i_r}{}_{j_1\dots j_s}$，坐标变换时上指标按 Jacobi 矩阵、下指标按逆 Jacobi 矩阵变换。

运算

• 张量积 $\otimes$：$(r,s)$ 型与 $(r',s')$ 型张量合成 $(r+r',s+s')$ 型
• 缩并：上、下指标各取一个求和，把 $(r,s)$ 型变为 $(r-1,s-1)$ 型
• 对称化与反对称化：把多重线性张量投影到对称/反对称部分

性质

• 张量场在 $p$ 点的值由坐标分量及其变换律完全决定
• $(0,2)$ 型张量场可视为逐点双线性形式；$(1,1)$ 型视为逐点线性算子
• 两个张量场的张量积、缩并仍是张量场

示例

• 黎曼度量：光滑对称正定 $(0,2)$ 型张量场（第一基本形式是曲面情形的具体实现，内积是其线性代数原型）
• 曲率张量 $R^i{}_{jkl}$：$(1,3)$ 型张量场，黎曼几何的核心对象
• 微分形式：反对称 $(0,k)$ 型张量场

应用

张量场是黎曼几何（度量、联络、曲率）与广义相对论（能动张量、Ricci 张量）的表述语言；物理学中的应力、形变都是张量场。