切丛

"每一点给一个切空间"还不够，必须让这些切空间随点光滑地变化——把所有切空间并起来得到切丛 $TM$，它本身是 $2n$ 维流形，也是向量丛的原型。

需先掌握切空间、微分流形与光滑映射。

定义

$M$ 的切丛为集合

$$TM=\bigcup_{p\in M}T_pM=\{(p,X):p\in M,\ X\in T_pM\}$$

配自然投影 $\pi:TM\to M$，$\pi(p,X)=p$。坐标卡 $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ 诱导 $TU=\pi^{-1}(U)$ 上的坐标

$$(p,X)\mapsto(x^1(p),\dots,x^n(p),X^1,\dots,X^n)$$

其中 $X=\sum X^i\,\partial/\partial x^i$。两张卡之间的坐标变换是线性的（Jacobi 矩阵），因此 $TM$ 是 $2n$ 维光滑流形，$\pi$ 是光滑浸没。

性质

• 纤维 $\pi^{-1}(p)=T_pM$ 是 $n$ 维向量空间
• $TM$ 是 $M$ 上的向量丛：局部平凡化为 $TU\cong U\times\mathbb{R}^n$，转移函数线性
• 光滑截面 $X:M\to TM$（满足 $\pi\circ X=\mathrm{id}$）正是向量场与流中的光滑向量场
• 若 $M$ 可嵌入 $\mathbb{R}^N$，则 $TM$ 是 $M\times\mathbb{R}^N$ 的子流形

示例

• $T\mathbb{R}^n\cong\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$
• $TS^1\cong S^1\times\mathbb{R}$（圆柱面，可平行化）
• $TS^2$：毛球定理说明 $S^2$ 上不存在处处非零的连续向量场

应用

切丛提供"向量场 = 截面"的严格框架；测地线的速度场是 $TM$ 中的曲线；余切丛 $T^*M$ 是哈密顿力学的相空间。