定义

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ , 若满足以下条件:

1. 可导性：$f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $c$ 的某一邻域内开区间内可导，且 $g'(x) \neq 0$
2. 不定式形式：$\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 或 $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ 形式。
3. 极限存在：求导后的极限 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或趋于无穷大。 则有

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

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Wikipedia

背景

洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是一个在计算不定式极限时非常有用的工具。该法则由法国数学家洛必达（Guillaume de l'Hôpital）推广，但其实是由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）首次提出的。

洛必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。令 $c\in \bar{\mathbb{R}}$（扩展实数），两函数 $f(x), g(x)$ 在以 $x=c$ 为端点的开区间可微，

$$\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\in \bar{\mathbb{R}}$$

并且 $g'(x)\neq 0$。 如果下式其中一者成立

$$\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0$$

$$\lim_{x\to c}|f(x)|=\lim_{x\to c}|g(x)|=\infty$$

则称欲求的极限为未定式

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}$$

此时洛必达法则表明：

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

对于不符合上述分数形式的未定式，可以通过运算转为分数形式，再以本法则求其值。以下列出数例： (1) 当

$$\lim_{x\to c}f(x)g(x)$$

满足条件

$$\lim_{x\to c}f(x) = 0, \lim_{x\to c}g(x) = \infty$$

$$\lim_{x\to c}g(x) = 0, \lim_{x\to c}f(x) = \infty$$

其中一者成立时，可以将未定式转为以下分数形式之一：

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{1/g(x)}$$

或

$$\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{1/f(x)}$$

(2) 当

$$\lim_{x\to c}(f(x)-g(x))$$

满足条件

$$\lim_{x\to c}f(x) = \infty, \lim_{x\to c}g(x) = \infty$$

时，可以将未定式转为以下分数形式：

$$\lim_{x\to c}\frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$$

(3) 当

$$\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}$$

满足条件

$$\lim_{x\to c}f(x) = 0^{+}, \lim_{x\to c}g(x) = 0 \lim_{x\to c}f(x) = \infty, \lim_{x\to c}g(x) = 0$$

其中一者成立时，可以将未定式转为以下分数形式：

$$\lim_{x\to c}\exp\left(\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}\right)$$

(4) 当

$$\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}$$

满足条件

$$\lim_{x\to c}f(x) = 1, \lim_{x\to c}g(x) = \infty$$

时，可以将未定式转为以下分数形式：

$$\lim_{x\to c}\exp\left(\lim_{x\to c}\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)$$

注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。