洛必达法则

简介

洛必达法则，是解决函数不定式极限问题的重要工具，由法国数学家洛必达（Guillaume de l'Hôpital）推广, 但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。它将复杂的极限问题转化为更简单的导数比值极限问题。该法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 形式的极限。

定义

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ , 若满足以下条件:

1. 可导性：$f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $c$ 的某一邻域内开区间内可导，且 $g'(x) \neq 0$
2. 不定式形式：$\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 或 $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ 形式:
   • $\frac{0}{0}$ 形式：$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = 0$ 且 $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = 0$
   • $\frac{\infty}{\infty}$ 形式：$\displaystyle \lim_{x \to c} |f(x)| = \infty$ 且 $\displaystyle \lim_{x \to c} |g(x)| = \infty$
3. 极限存在：求导后的极限 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或趋于无穷大
   则有:

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

关于极限存在条件的解释

求导后的极限 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 要求存在或趋于无穷大，这并不是因为分母 $g'(x)$ 相对无穷小，而是洛必达法则成立的必要条件。

洛必达法则的本质
它实际上是柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）的推论。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它连接了两个函数的增量比值与它们导数的比值。洛必达法则正是利用了这种关系，将函数比值的极限问题转化为导数比值的极限问题。

洛必达法则的证明过程依赖于通过柯西中值定理找到一个点 $\xi$ 使 $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。这里的 $\xi$ 位于 $x$ 和 $c$ 之间。当 $x \to c$ 时，$\xi$ 也趋近于 $c$
* 如果 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在并等于一个有限值 $L$，那么当 $x \to c$ 时，$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 的极限也必然是 $L$。因此，$\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = L$。
* 如果 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 趋于 $\infty$，同理，$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 也趋于 $\infty$，所以 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ 也趋于 $\infty$。
这个前提条件保证了等式左边的极限能从右边推导出来。

反例
如果求导后的极限 $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 不存在（例如，左右极限不相等，或者极限是振荡的），那么洛必达法则就不能使用。

一个经典的例子是求 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x}$。

• 这是一个 $\frac{\infty}{\infty}$ 形式。
• 直接计算：$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\sin(x)}{x}) = 1 + 0 = 1$。
• 如果使用洛必达法则：$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1 + \cos(x)}{1} = 1 + \cos(x)$。
• $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1 + \cos(x))$ 不存在，因为它在 $[0, 2]$ 之间振荡。
  这个例子清楚地说明了，如果求导后的极限不存在，洛必达法则就无法得出正确的结论。这并非因为它本身的错误，而是因为它不符合使用前提。
  总结来说，"求导后的极限存在或趋于无穷大" 是洛必达法则能够成立和使用的基本条件。 这个条件确保了我们通过求导得到的极限值是稳定的，从而可以作为原极限的解。

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应用

除了以上两种基本形式，洛必达法则还可以通过代数变换，应用于其他不定式形式。

1. $\mathbf{0 \cdot \infty}$ 形式

对于 $\displaystyle \lim\_{x \to c} f(x)g(x)$ 这样的极限，如果 $\displaystyle \lim\_{x \to c} f(x) = 0$ 且 $\displaystyle \lim\_{x \to c} g(x) = \infty$，我们可以将其转换为分数形式，从而使用洛必达法则：

$$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)}$$

2. $\mathbf{\infty - \infty}$ 形式

对于 $\displaystyle \lim\_{x \to c} (f(x) - g(x))$ 这样的极限，如果 $\displaystyle \lim\_{x \to c} f(x) = \infty$ 且 $\displaystyle \lim\_{x \to c} g(x) = \infty$，可以通过通分将其转换为 $\frac{0}{0}$ 形式：

$$\lim_{x \to c}(f(x)-g(x)) = \lim_{x \to c}\frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$$

3. 指数不定式

对于 $\displaystyle \lim\_{x \to c} f(x)^{g(x)}$ 这样的极限，如果出现 $0^0$、$1^\infty$ 或 $\infty^0$ 的形式，通常需要使用对数方法来处理。
我们可以设 $L = \displaystyle \lim\_{x \to c} f(x)^{g(x)}$，然后对等式两边取自然对数：

$$\ln L = \lim_{x \to c} \ln(f(x)^{g(x)}) = \lim_{x \to c} g(x) \ln f(x)$$

此时，这个新极限 $\lim g(x) \ln f(x)$ 变成了 $\mathbf{0 \cdot \infty}$ 形式，然后就可以按照上面的方法将其转换为分数形式，最后通过指数运算得到最终结果。

$$L = \exp\left(\lim_{x \to c} g(x) \ln f(x)\right)$$

注意： 洛必达法则不适用于离散变量的数列。在处理数列极限时，可以使用斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。