矩阵的秩

矩阵的秩是它的行向量（或列向量）中最大线性无关组的向量个数，$m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩记作 $\operatorname{rank}(A)$，等于矩阵行空间与列空间的维数。

矩阵的秩

行秩 $=$ 列秩；$rank(A)\le\min(m,n)$；零矩阵是唯一秩为 $0$ 的矩阵；满秩时 $rank(A)=\min(m,n)$（对 $m\times n$ 矩阵，列满秩指 $rank(A)=n$，行满秩指 $rank(A)=m$）。

性质：$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T)$；初等行变换不改变秩；对可乘的 $A,B$ 有 $\operatorname{rank}(AB)\le\min(\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B))$。计算时可将矩阵化为行阶梯形，非零行个数即为秩（见高斯消元法）；也可数非零奇异值。只有对实对称矩阵等可正交对角化的情形，秩才等于非零特征值按重数计数的个数，一般矩阵不能这样计算。推论：设 $AB=O$，若 $A$ 为列满秩矩阵，则 $B=O$。