线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，通常可以用矩阵方法来求解。一个线性方程组的解是找到变量的值，使得每个方程同时成立。线性方程组的一般形式为：

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$$

其中，$a_{ij}$ 是系数，$x_j$ 是未知数，$b_i$ 是常数项。

解的结构

线性方程组的解的结构

求解

解线性方程组的常见方法有以下几种：

高斯消元法

高斯消元法是通过一系列的行变换将矩阵化为上三角矩阵，然后再通过回代求解。

步骤：

1. 将方程组写成增广矩阵形式。
2. 使用行变换将增广矩阵变为上三角矩阵。
3. 通过回代求解上三角矩阵的方程组。

2. 矩阵求逆法

如果系数矩阵 $A$ 是可逆的，即 $\det(A) \neq 0$，可以通过矩阵求逆来解方程组。

线性方程组可以表示为 $AX = B$，其中 $A$ 是系数矩阵，$X$ 是未知数向量，$B$ 是常数向量。

求解：

$$X = A^{-1}B$$

2. 克拉默法则

适用于有唯一解的方程组，即系数矩阵是非奇异矩阵（行列式不为零）。

对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组，若系数矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) \neq 0$，则每个未知数的解可以表示为：

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

其中，$A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数向量 $B$ 所得到的矩阵。

3. 其他数值方法

对于大型线性方程组，可能需要使用数值方法，如：

• 迭代法：雅可比迭代法、盖乌斯-塞德尔迭代法。
• 奇异值分解（SVD）：用于求解超定方程组或矩阵近似。

示例

考虑以下线性方程组：

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \\ \end{cases}$$

用矩阵方法表示为：

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

使用高斯消元法或矩阵求逆法可以求得解：

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

即 $x = 1$, $y = 1$。