行最简形

行最简形（Reduced Row Echelon Form, RREF）是行阶梯形的特殊形式，可由初等行变换得到。

判定条件

1. 非零行都在零行之上；
2. 每一非零行的主元位于上一行主元的右侧；
3. 每个主元等于 $1$，且是所在列唯一的非零元素。

每个矩阵的行最简形唯一，其非零行数等于矩阵的秩。主元列不一定是最前面的若干列，因此不能把一般 RREF 无条件写成 $[I_r\ F;0\ 0]$。

计算

高斯-约当消元先做前向消元形成行阶梯形，再从最下面的主元开始，把主元归一为 $1$ 并消去其上方同列元素；见高斯消元法。

示例

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix} \xrightarrow{\mathrm{RREF}} \begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.$$

$$\begin{bmatrix} 0&3&-6&6&4&-5\\ 3&-7&8&-5&8&9\\ 3&-9&12&-9&6&15 \end{bmatrix} \xrightarrow{\mathrm{RREF}} \begin{bmatrix} 1&0&-2&3&0&-24\\ 0&1&-2&2&0&-7\\ 0&0&0&0&1&4 \end{bmatrix}.$$

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&-1\\ 1&1&2&-2\\ 1&2&3&-3 \end{bmatrix} \xrightarrow{\mathrm{RREF}} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&-1 \end{bmatrix}.$$