简介

矩阵初等变换是对矩阵进行的基本操作, 可以将矩阵变换成不同的形式, 但不会改变矩阵的秩. 初等变换主要用于求解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵和进行矩阵分解.

Tip

在求解线性方程组中默认指代初等行变换.

初等行变换

• [[#行交换]](Row Swap): 交换矩阵的两行.
• [[#行缩放]](Row Multiplication): 将某一行乘以非零常数
• [[#行相加]](Row Addition): 将某一行加上另一行的倍数

行交换

交换矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行, 记为 $R_i \leftrightarrow R_j$. 例如, 对于矩阵 $A$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{(R_1\leftrightarrow R_3)} \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$

行缩放

使用一个非零常数 $k$ 乘以矩阵的第 $i$ 行，表示为 $kR_i$。 例如，对于矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2*3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 12 & 15 & 18 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

行相加

将矩阵的第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $k$ 倍，表示为 $R_j + kR_i$。 例如，对于矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 + 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 9 & 12 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

应用

1. 求解线性方程组: 使用高斯消去法, 通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵.
2. 计算行列式: 通过初等行变换将矩阵化为上三角形矩阵, 从而简化行列式的计算.
3. 求逆矩阵: 通过初等行变换将矩阵化为单位矩阵, 同时对单位矩阵进行相同的变换, 从而得到逆矩阵.
4. 矩阵分解: 例如LU分解, 通过初等行变换将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积. 初等行变换的逆变换也是初等行变换, 因此通过一系列初等行变换可以实现矩阵的各种操作, 并且可以逆向操作恢复原矩阵.