二项分布

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设实验$E$只有两个结果, 将$E$独立重复$n$次, 称为$n$重伯努利实验

• 独立: 各次实验结果互不影响
• 重复: 指每次实验中$P(A)=p$保持不变

令 $X$ 为 $n$ 次试验中事件 $A$ 的发生次数，$n$ 为非负整数、$0\le p\le1$，记 $q=1-p$。

$$P\{X=k\}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^kq^{n-k},(k=0,1,2,\dots,n)$$

其中的$\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix}$为二项式系数, 有时记作 $C_n^k$ 或者 $_nC_k$

使用列表展示:

X	0	...	k	...	n
P	$(1-p)^n$	...	$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$	...	$p^n$

Example

• 抛硬币
• 袋中拿球后放回

把 $X$ 写成独立的 伯努利分布 指示变量之和，可得

$$E[X]=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).$$

其中期望使用线性性，方差相加还依赖独立性。$p=0$ 时 $X=0$、$p=1$ 时 $X=n$ 几乎必然成立，端点公式按这两个退化分布解释。样本比例 $\hat p=X/n$（$n\ge1$）因此有方差 $p(1-p)/n$，是 0-1分布参数的区间估计 的出发点。