0-1分布参数的区间估计

0-1 分布（伯努利分布）参数 $p$ 的区间估计设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 Bernoulli$(p)$，成功总数 $X=\sum_iX_i\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$，样本比例 $\hat p=X/n$。

大样本方法

固定 $0<p<1$，当 $n\to\infty$ 时，由中心极限定理：

$$\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$

置信区间

Wald 方法给出 $p$ 的近似 $1-\alpha$ 区间（$z_{\alpha/2}$ 采用上尾约定）：

$$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

适用条件

• $n\hat p\ge5$、$n(1-\hat p)\ge5$ 只是粗略经验提醒，不是覆盖率保证。
• 接近 0 或 1、稀有事件或较小样本下 Wald 区间可能很差；截断到 $[0,1]$ 也不能修复覆盖率。

小样本精确方法

当样本量较小时，可使用 Clopper-Pearson 精确区间，基于二项分布直接求解。

可直接计算的替代区间

令 $z=z_{\alpha/2}$。反演二项 score 统计量得到 Wilson 区间：

$$\frac{\hat p+z^2/(2n)\ \pm\ z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}}{1+z^2/n}.$$

它仍是近似方法，不是严格保证有限样本名义覆盖率的区间。

双侧等尾 Clopper–Pearson 区间可用 Beta 分布的下尾分位数 $B_q^{-1}(a,b)$ 表示：观测成功数为 $x$ 时，

$$L=\begin{cases}0,&x=0,\\B^{-1}_{\alpha/2}(x,n-x+1),&x>0,\end{cases}\qquad U=\begin{cases}1,&x=n,\\B^{-1}_{1-\alpha/2}(x+1,n-x),&x<n.\end{cases}$$

这里 Beta 分位数使用下尾概率，与 $z_{\alpha/2}$ 的上尾记号不同。该区间覆盖率至少为 $1-\alpha$，通常偏保守。

例如 $n=10,x=0$，95% Wald 区间退化为 $[0,0]$，不合理地没有不确定性；Wilson 区间约为 $[0,0.2775]$，Clopper–Pearson 区间为 $[0,1-0.025^{1/10}]\approx[0,0.3085]$。