第一基本形式

曲面上没有全局直角坐标，如何测量长度、角度与面积？第一基本形式把切空间上的内积（$\mathbb{R}^3$ 标准内积在切平面上的限制）写成坐标形式，是曲面上的"度量"，回答了这一测量问题。

需先掌握切平面与法向量与参数曲面的偏导数。

定义

设 $X(u,v)$ 为坐标卡，记

$$E=\langle X_u,X_u\rangle,\qquad F=\langle X_u,X_v\rangle,\qquad G=\langle X_v,X_v\rangle$$

第一基本形式（度量形式）

$$I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$$

其中 $E,F,G$ 称为第一基本量。

度量公式

对切向量 $w=X_u\,du+X_v\,dv$：

$$\|w\|^2=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$$

• 曲线长度：$\alpha(t)=X(u(t),v(t))$，$L=\displaystyle\int\sqrt{E\,u'^2+2F\,u'v'+G\,v'^2}\,dt$
• 夹角：两切向量 $w_1,w_2$ 夹角满足 $\cos\theta=\dfrac{\langle w_1,w_2\rangle}{\|w_1\|\|w_2\|}$
• 面积元：$dA=\|X_u\times X_v\|\,du\,dv=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$

示例

• 平面 $X(u,v)=(u,v)$：$E=G=1$，$F=0$
• 半径 $R$ 球面 $X(\theta,\varphi)=(R\sin\theta\cos\varphi,R\sin\theta\sin\varphi,R\cos\theta)$：$E=R^2$，$F=0$，$G=R^2\sin^2\theta$
• 圆柱面 $X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)$：$E=R^2$，$F=0$，$G=1$

性质

• $EG-F^2=\|X_u\times X_v\|^2>0$（正定）
• $I$ 在刚体运动下不变；保持 $I$ 的曲面映射是等距（保长、保角、保面积）
• 由 $I$ 出发可定义与参数化无关的几何量，如测地线（局部最短路径）与内蕴的高斯曲率（见高斯曲率与平均曲率）

应用

第一基本形式是测地线方程与 Gauss-Bonnet 定理中面积分的度量来源；曲面论中"内蕴几何"研究的正是由 $I$ 决定的量。