测地线

平面上的"最短路径"是直线；曲面上则推广为测地线——局部最短、且"不拐弯"的曲线（其加速度垂直曲面，即曲面内没有侧向加速度）。测地线是曲面内蕴几何的核心对象。

需先掌握第一基本形式（度量）与切平面与法向量。

定义

设 $\gamma(t)=X(u(t),v(t))$ 为单位速度曲线。若其速度向量的"曲面内加速度"为零——即 $\gamma''(t)$ 垂直于曲面（在切平面上的投影为 0），则称 $\gamma$ 为测地线。等价地：$\gamma$ 的测地曲率处处为 0。

方程

在坐标卡下，测地线满足二阶常微分方程组

$$u''+\Gamma^1_{11}\,u'^2+2\Gamma^1_{12}\,u'v'+\Gamma^1_{22}\,v'^2=0$$

$$v''+\Gamma^2_{11}\,u'^2+2\Gamma^2_{12}\,u'v'+\Gamma^2_{22}\,v'^2=0$$

其中 $\Gamma^k_{ij}$ 为由第一基本量 $g_{ij}$ 决定的 Christoffel 符号

$$\Gamma^k_{ij}=\frac12\sum_m g^{km}\left(\frac{\partial g_{im}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jm}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m}\right)$$

性质

• 存在唯一性：给定点与初始单位切向量，局部存在唯一测地线
• 测地线是局部最短曲线：小范围内连接两点的最短曲线必为测地线
• 测地线方程只含第一基本形式 → 测地线是内蕴对象（等距变换保持）
• 沿测地线的速度向量"平行"于自身（平行移动的直线性）

示例

• 平面：测地线为直线
• 球面：测地线为大圆（过球心的平面与球面的交线）
• 圆柱面：测地线为螺旋线（展开成平面后变为直线）
• 旋转曲面：子午线（经线）是测地线

应用

测地线是变分法最短路径问题的解；广义相对论中自由物体沿时空测地线运动；计算机图形学用测地线计算曲面上的测地距离与参数化。