法曲率与主曲率

曲面上同一点沿不同方向"弯得多不一样"：球面沿任何方向都一样弯，圆柱面沿直母线方向不弯、沿圆周方向弯。法曲率把每个切方向的弯曲程度定量化，主曲率则是其中的极大与极小值。

需先掌握第二基本形式与切平面与法向量。

定义

设 $w\in T_pS$ 为单位切向量，$II,I$ 分别为第二、第一基本形式。法曲率

$$\kappa_n(w)=\frac{II(w,w)}{I(w,w)}$$

即过 $p$ 以 $w$ 为切方向的曲面曲线的曲率在曲面法向量上的投影（与曲线选择无关）。

主曲率 $\kappa_1\ge\kappa_2$ 是法曲率在所有单位方向上的最大值与最小值，对应方向称为主方向。

公式

在坐标卡下，设 $W=I^{-1}\cdot II$（形状算子的矩阵），主曲率是 $W$ 的特征值：

$$\kappa_{1,2}=H\pm\sqrt{H^2-K}$$

其中 $K=\det W$ 为高斯曲率，$H=\tfrac12\operatorname{tr}W$ 为平均曲率。

性质

• Euler 公式：$\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$，$\theta$ 为方向与 $\kappa_1$ 主方向的夹角
• Meusnier 定理：曲面上曲线 $\gamma$ 在 $p$ 的曲率 $\kappa$ 满足 $\kappa_n=\kappa\cos\phi$，$\phi$ 为曲线主法向量与曲面法向量的夹角（故 $\kappa\ge|\kappa_n|$）
• $\kappa_1\neq\kappa_2$ 时两个主方向正交
• 脐点：$\kappa_1=\kappa_2$（如球面各点）；平点：$\kappa_1=\kappa_2=0$（如平面各点）

示例

• 球面（半径 $R$，内法向）：$\kappa_1=\kappa_2=1/R$，任意方向皆主方向
• 圆柱面：$\kappa_1=1/R$（环向）、$\kappa_2=0$（直母线方向）
• 鞍面 $z=x^2-y^2$ 在原点：$\kappa_1=2$、$\kappa_2=-2$，主方向沿坐标轴

应用

主曲率的符号给出局部分类（椭球点 $\kappa_1\kappa_2>0$、双曲点 $\kappa_1\kappa_2<0$、抛物点 $\kappa_1\kappa_2=0$）；其不变量组合 $K=\kappa_1\kappa_2$ 与 $H=\tfrac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$ 见高斯曲率与平均曲率。