切平面与法向量

曲面上每一点的"局部线性近似"是切平面，垂直于它的方向是法向量。切平面承载速度向量与方向导数，法向量则提供"曲面朝这一侧弯曲"的参照系，是第二基本形式与曲率定义的基准。

需先掌握正则曲面的正则性条件 $X_u\times X_v\neq 0$。

定义

设 $X:U\to S$ 为 $p=X(u_0,v_0)$ 处的坐标卡。切空间

$$T_pS=\operatorname{span}\{X_u,X_v\}\subset\mathbb{R}^3$$

即曲面在 $p$ 处全体切向量的二维线性空间。单位法向量

$$N=\frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|}$$

（更换参数化或取另一侧坐标卡时 $N$ 可能反号，切空间不变。）

性质

• 过 $p$ 的任意曲面曲线 $\alpha(t)=X(u(t),v(t))$ 满足 $\alpha'(t)=u'X_u+v'X_v\in T_pS$
• 切向量 $v\in T_pS$ 作用于光滑函数 $f$ 给出方向导数
• 切平面 $p+T_pS$ 是曲面的"一阶近似"；二阶近似由第二基本形式给出
• 法向量场 $N$ 的存在性等价于曲面可定向

示例

• 球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 在 $p=(0,0,R)$：$T_pS$ 为 $xy$ 平面，$N=(0,0,1)$
• 函数图像 $z=f(x,y)$：$T_pS$ 由 $(1,0,f_x)$、$(0,1,f_y)$ 张成，$N=\dfrac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$

应用

切空间上的内积由第一基本形式记录；单位法向量沿切方向的变化率编码为高斯映射与形状算子，由此导出主曲率与高斯曲率。