参数曲面

把"一块曲面"从直观图像变成可计算的对象：用两个参数 $(u,v)$ 把曲面上每一点写成空间点 $X(u,v)$。这是曲线论中参数曲线向二维的推广，也是把微积分（偏导数）用于曲面几何的第一步。

需先掌握参数曲线的向量值函数求导，以及微积分中多元函数的偏导数。

定义

设 $U\subseteq\mathbb{R}^2$ 为开集，光滑映射 $X:U\to\mathbb{R}^3$，

$$X(u,v)=\big(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\big)$$

称 $X$ 为参数曲面。固定 $u$ 得到 $v$-曲线（$u=\text{常数}$），固定 $v$ 得到 $u$-曲线，统称坐标曲线。

• 偏导数 $X_u=\dfrac{\partial X}{\partial u}$、$X_v=\dfrac{\partial X}{\partial v}$ 是沿两条坐标曲线的切向量
• 曲面上 $p=X(u_0,v_0)$ 处的切方向由 $X_u,X_v$ 的线性组合给出
• 同一个几何曲面可有不同参数化（重参数化），几何量应与之无关

示例

• 平面：$X(u,v)=(u,v,0)$
• 圆柱面：$X(u,v)=(R\cos u,\,R\sin u,\,v)$
• 球面：$X(\theta,\varphi)=(R\sin\theta\cos\varphi,\,R\sin\theta\sin\varphi,\,R\cos\theta)$，$\theta\in(0,\pi)$，$\varphi\in(0,2\pi)$
• 旋转曲面：把平面曲线 $(f(v),0,g(v))$ 绕 $z$ 轴旋转得 $X(u,v)=(f(v)\cos u,\,f(v)\sin u,\,g(v))$

应用

正则曲面用参数化给出曲面（作为 $\mathbb{R}^3$ 中子集）的光滑结构；第一基本形式与第二基本形式都从 $X_u,X_v$ 及其导数出发，是曲面局部几何的起点。