Gauss-Bonnet定理

局部几何量（高斯曲率、测地曲率）与整体拓扑量（Euler 示性数）之间的桥梁：曲面上 $K$ 的积分加上边界测地曲率积分等于 $2\pi$ 乘 Euler 示性数。曲率总量不随弯曲方式改变，只由"洞的个数"决定。

需先掌握高斯曲率与平均曲率与测地曲率，以及拓扑学中的 Euler 示性数概念。

定理

设 $S$ 为紧致定向曲面，边界 $\partial S$ 为分段光滑曲线，外角为 $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$，则

$$\iint_S K\,dA+\int_{\partial S}\kappa_g\,ds+\sum_i\varepsilon_i=2\pi\,\chi(S)$$

闭合特例（无边界）：

$$\iint_S K\,dA=2\pi\,\chi(S)$$

推论与例子

• 球面 $\chi=2$：$\iint K\,dA=4\pi$（半径 $R$：$K=1/R^2$，面积 $4\pi R^2$，积分为 $4\pi$ ✓）
• 环面 $\chi=0$：$\iint K\,dA=0$（外侧 $K>0$、内侧 $K<0$、上下两圆 $K=0$，恰好抵消）
• 亏格 $g$ 曲面：$\iint K\,dA=2\pi(2-2g)$
• 测地三角形版本：边为测地线（$\kappa_g=0$）时，内角和 $=\pi+\iint_\Delta K\,dA$——球面上大于 $\pi$（如八分之一球面三角形内角和 $3\pi/2$），平面上等于 $\pi$

意义

• 曲率积分是拓扑不变量：只要不改变拓扑，无论怎么弯曲，$K$ 的总量不变
• 微分几何与拓扑学的第一次深刻结合，是示性类理论的先声（见拓扑学中的示性类）

应用

用于拓扑学中的曲面分类；计算机图形学中离散版本的 Gauss-Bonnet 给出多边形顶点角亏公式；广义相对论中用整体曲率约束讨论黑洞拓扑。