Levi-Civita联络

仿射联络有很多，但黎曼度量选出其中"最自然"的一个：既不扭曲（无挠）又与度量相容（保内积）。这个唯一联络以 Levi-Civita 命名，是黎曼几何一切计算的核心工具。

需先掌握仿射联络与黎曼度量。

定义

黎曼流形 $(M,g)$ 上满足以下两条件的仿射联络 $\nabla$ 称为 Levi-Civita 联络（黎曼联络）：

1. 无挠：$\nabla_X Y-\nabla_Y X=[X,Y]$
2. 度量相容：$X\,g(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)$

基本定理

Levi-Civita 定理

黎曼流形上存在唯一的 Levi-Civita 联络。

唯一性来自无挠与度量相容两组条件逐一确定联络系数。

Christoffel 符号

在坐标下由度量给出：

$$\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2}g^{kl}\left(\partial_i g_{jl}+\partial_j g_{il}-\partial_l g_{ij}\right)$$

其中 $(g^{kl})$ 是 $(g_{ij})$ 的逆矩阵。

性质

• 度量相容等价于：平行移动保持内积（见平行移动）
• 无挠保证测地线方程、曲率张量的对称性等标准公式成立
• 曲面情形即曲面论中的黎曼联络：Christoffel 符号与第一基本形式导出的系数一致

应用

Levi-Civita 联络定义测地线方程、协变导数与平行移动，并导出黎曼曲率张量；广义相对论中时空的联络即 Levi-Civita 联络。