正则曲面

"曲面"是三维空间中的二维对象，但直观的"面"可能带棱角、自交或奇点（如锥面顶点）。正则曲面用光滑坐标卡把这些病态排除，给出可以微积分地研究形状的舞台。

需先掌握参数曲面的偏导数 $X_u,X_v$ 与光滑性概念。

定义

称子集 $S\subset\mathbb{R}^3$ 为正则曲面，若对每点 $p\in S$ 存在开邻域 $V\subset\mathbb{R}^3$、开集 $U\subset\mathbb{R}^2$ 与光滑同胚 $X:U\to S\cap V$，满足：

1. 正则性：对一切 $(u,v)\in U$，$X_u\times X_v\neq 0$（两个切向量线性无关）
2. 光滑性：$X$ 各分量 $C^\infty$

这样的 $X$ 称为坐标卡（参数化）。条件 1 等价于微分 $dX_p$ 的秩为 2，保证曲面处处有二维切平面。

性质

• 正则曲面是 2 维光滑流形（微分流形的特例），且作为 $\mathbb{R}^3$ 的子流形嵌入
• 函数图像 $z=f(x,y)$（$f$ 光滑）自动是正则曲面：$X(u,v)=(u,v,f(u,v))$，$X_u\times X_v=(-f_u,-f_v,1)\neq 0$
• 隐式曲面 $F(x,y,z)=0$，若 $\nabla F\neq 0$，由隐函数定理局部为正则曲面
• 例：球面、圆柱面、环面都是正则曲面；锥面在顶点处不正则（该点无切平面）

示例

• 单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$：可用两张坐标卡覆盖
• 环面 $X(u,v)=\big((R+r\cos u)\cos v,\,(R+r\cos u)\sin v,\,r\sin u\big)$，$R>r$

应用

正则曲面上的每一点都有切平面与法向量，从而可以定义第一/第二基本形式与曲率；它是微分流形理论在 2 维嵌入情形的具体样板。