高斯曲率与平均曲率

把两个主曲率组合成两个与方向无关的数：高斯曲率 $K=\kappa_1\kappa_2$（内蕴，由度量即可算出）与平均曲率 $H=\tfrac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$（外蕴，依赖嵌入方式）。$K$ 的符号给出曲面的局部形状分类。

需先掌握法曲率与主曲率与第一基本形式。

定义

$$K=\kappa_1\kappa_2=\frac{LN_0-M^2}{EG-F^2},\qquad H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac{EN_0-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$$

性质

• 内蕴性（Gauss 绝妙定理）：$K$ 只由第一基本形式决定（由 Gauss 方程导出），与曲面嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的方式无关——圆柱面可展平成平面（$K=0$），球面不可展平（$K=1/R^2\neq 0$）
• $K>0$：椭球点（如球面、椭圆抛物面 $z=x^2+y^2$）
• $K<0$：双曲点（如鞍面 $z=x^2-y^2$、单叶双曲面）
• $K=0$：抛物点（如圆柱面、锥面、可展面）
• 极小曲面：$H\equiv 0$（如悬链面、螺旋面），对应肥皂膜
• $H$ 依赖法向量定向（换 $N$ 变号），$K$ 与定向无关

示例

• 平面：$K=H=0$
• 半径 $R$ 球面：$K=1/R^2$，$H=\pm1/R$（符号随法向）
• 圆柱面：$K=0$，$H=\pm\dfrac{1}{2R}$
• 环面：外侧 $K>0$、内侧 $K<0$、上下两条圆 $K=0$

应用

$K$ 是内蕴不变量，是 Gauss-Bonnet 定理把曲率面积分与拓扑不变量（Euler 示性数）联系的核心；$H$ 出现在极小曲面、表面张力与微分几何中的平均曲率流问题。