第二基本形式

第一基本形式刻画"曲面有多长多宽"，第二基本形式刻画"曲面如何弯离切平面"。它取位置向量二阶导数在法方向的分量，是法曲率与主曲率的直接来源。

需先掌握切平面与法向量的 $X_u,X_v,N$。

定义

设 $X(u,v)$ 为坐标卡，$N$ 为单位法向量，记

$$L=\langle X_{uu},N\rangle,\qquad M=\langle X_{uv},N\rangle,\qquad N_0=\langle X_{vv},N\rangle$$

第二基本形式

$$II=L\,du^2+2M\,du\,dv+N_0\,dv^2$$

其中 $L,M,N_0$ 称为第二基本量（注意与法向量 $N$ 记号区分，常写作 $L,M,N$）。

几何意义

• 偏离切平面的二阶项：曲面点 $X+(\varepsilon du,\varepsilon dv)$ 到切平面 $p+T_pS$ 的有向距离约为 $\tfrac12(L\,du^2+2M\,du\,dv+N_0\,dv^2)$
• 对单位切方向 $w$：法曲率 $\kappa_n(w)=\dfrac{II(w,w)}{I(w,w)}$，见法曲率与主曲率

示例

• 平面：$L=M=N_0=0$
• 半径 $R$ 球面（取外法向）：$L=-R$，$M=0$，$N_0=-R\sin^2\theta$，即 $II=-R(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)$；取内法向则各项为正
• 圆柱面 $X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v)$（外法向）：$L=-R$，$M=N_0=0$

性质

• $II$ 在刚体运动下保持，但在一般等距（仅保 $I$）下不保持——它是外蕴量
• 主曲率是形状算子（Weingarten 矩阵 $W=I^{-1}\cdot II$）的特征值
• 高斯曲率 $K=\dfrac{LN_0-M^2}{EG-F^2}$，见高斯曲率与平均曲率

应用

第二基本形式与第一基本形式共同构成曲面的完整局部数据（见曲面论基本定理）；极小曲面（平均曲率为零）的判定依赖 $II$ 的迹。