曲面论基本定理

曲线论基本定理说"曲率加挠率决定曲线"；曲面论的对应物是：第一与第二基本形式决定曲面（差一个刚体运动），但二者不能随意给定——必须满足 Gauss–Codazzi 相容性方程。

需先掌握第一基本形式与第二基本形式。

定理（Bonnet）

设 $E,F,G$ 与 $L,M,N_0$ 为单连通区域 $U\subset\mathbb{R}^2$ 上的光滑函数，$EG-F^2>0$，且满足 Gauss–Codazzi 方程：

• Gauss 方程：$\dfrac{LN_0-M^2}{EG-F^2}=K$，其中左端由第一基本量经 Christoffel 符号计算
• Codazzi 方程：如 $\dfrac{\partial L}{\partial v}-\dfrac{\partial M}{\partial u}=L\,\Gamma^1_{12}+M(\Gamma^2_{12}-\Gamma^1_{11})-N_0\,\Gamma^2_{11}$ 及对称的第二个方程

则存在坐标卡 $X:U\to\mathbb{R}^3$ 以 $E,F,G,L,M,N_0$ 为第一、第二基本形式；且任意两个这样的曲面相差一个刚体运动（唯一性）。

意义

• 第一基本形式是"内在数据"，第二基本形式是"外在弯曲数据"；二者共同构成曲面的完整局部编码
• Gauss 方程给出 高斯曲率 $K$ 可由第一基本形式计算（Theorema Egregium 的解析版本）
• Codazzi 方程是相容性条件：由混合偏导数交换次序（$X_{uvv}=X_{vuv}$ 等）导出的可积性条件

应用

这是曲面存在性的判据；在黎曼几何中推广为"度量加第二基本形式满足 Gauss–Codazzi 方程 ⟺ 等距嵌入"。计算机图形学据此从测量数据（如法向与曲率）重建曲面。