测地曲率

一条曲面曲线在空间中的弯曲（曲率 $\kappa$）可分解为"贴着曲面的弯"（测地曲率 $\kappa_g$）与"绕曲面的弯"（法曲率 $\kappa_n$）两部分。$\kappa_g$ 度量曲线偏离测地线的程度，是内蕴量。

需先掌握测地线的定义与法曲率与主曲率。

定义

设 $\gamma$ 为单位速度曲线，$T=\gamma'$，$n$ 为曲面单位法向量。沿曲线的协变导数分解为

$$\frac{DT}{ds}=\kappa_g\,(n\times T)+\kappa_n\,n$$

其中 $\kappa_n$ 为法曲率，测地曲率

$$\kappa_g=\left\langle\frac{DT}{ds},\,n\times T\right\rangle=\langle\gamma'',\,n\times T\rangle$$

（$D/ds$ 为 $\mathbb{R}^3$ 导数在切平面上的投影）。

性质

• 勾股关系：$\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2$，$\kappa$ 为空间曲率
• $\gamma$ 是测地线 $\iff$ $\kappa_g\equiv 0$
• $\kappa_g$ 只依赖第一基本形式（内蕴）；$\kappa_n$ 依赖第二基本形式（外蕴）
• 平面曲线的测地曲率等于其（带符号）平面曲率

公式

对弧长参数曲线 $\gamma(s)$：$\kappa_g=\langle\gamma'',\,n\times T\rangle$；也可由测地线方程左端（含 Christoffel 符号）直接计算。

示例

• 球面纬线（余纬度 $\theta$，非大圆）：$\kappa_g=\dfrac{1}{R}\cot\theta$；赤道（大圆）$\kappa_g=0$
• 平面上半径为 $r$ 的圆：$\kappa_g=1/r$
• 圆柱面螺旋线：$\kappa_g=0$（螺旋线是测地线）

应用

Gauss-Bonnet 定理把边界曲线的 $\kappa_g$ 线积分与内部高斯曲率面积分联系起来；曲面网格上的离散测地曲率用于几何处理与形状分析。