极小曲面

平均曲率为零的曲面是面积泛函的临界点，是"曲面中的测地线"。肥皂膜的形状即极小曲面，它是几何变分问题与 Plateau 问题的核心对象。

需先掌握高斯曲率与平均曲率与参数曲面；一维类比见测地线。

定义

曲面 $\Sigma\subset M$ 的平均曲率恒为零 $H\equiv 0$ 时称为极小曲面；等价地，面积泛函的一阶变分为零。

性质

• 极小曲面的高斯曲率 $K\le 0$（诱导度量非平坦时 $K<0$），因此呈鞍形
• 在等温坐标下，极小曲面是共形调和浸入（见调和映射）
• 平面、悬链面、螺旋面、Enneper 曲面均为经典完备极小曲面

应用

Plateau 问题（给定边界求面积最小曲面）是变分法的经典问题；极小曲面在三维流形分解、双曲几何（Sullivan 定理）与物理学（薄膜、界面能量）中广泛应用，其面积估计依赖等周不等式。