广义积分的定义

Riemann 积分只定义在闭区间上的有界函数，广义积分（反常积分）把积分推广到无界区间与无界函数两类情形，回答"积分区域或函数值趋于无穷时如何积分"。它是 Riemann 积分（见与Riemann积分的比较）的自然延伸，也是 Gamma 函数、Fourier 变换与概率密度积分的基础。需先掌握Lebesgue积分的定义与微积分的反常积分。

定义

无穷限积分

设 $f$ 在 $[a, \infty)$ 上 Riemann 可积，定义

$$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx$$

若极限存在且有限，称广义积分收敛，否则发散。负无穷限与双侧积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}$ 按 $\int_{-\infty}^{a} + \int_a^{+\infty}$ 定义，要求两部分各自收敛。

无界函数（瑕积分）

设 $f$ 在 $(a, b]$ 上有定义、在 $a$ 附近无界，定义

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx$$

内部奇点（如 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$）需在奇点处把区间拆成两段分别处理。

绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛：$\int |f|$ 收敛，则 $\int f$ 收敛且 $\left|\int f\right| \le \int |f|$。
• 条件收敛：$\int f$ 收敛而 $\int |f|$ 发散。如 $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$ 条件收敛。

与 Lebesgue 积分的关系

Lebesgue 积分要求 $\int |f|\,d\mu < \infty$（即绝对可积），因此：

• 绝对收敛的广义积分与 Lebesgue 积分一致；
• 条件收敛的反常积分不是 Lebesgue 可积的：$\sin x / x$ 是 Lebesgue 可测但不 Lebesgue 可积（见与Riemann积分的比较）。这说明 Lebesgue 积分换取了极限定理与可积函数类的完备性，代价是放弃条件收敛。

例

• $\int_0^\infty e^{-x}\,dx = 1$（绝对收敛，Lebesgue 可积）。
• $\int_0^1 x^{-p}\,dx$ 收敛当且仅当 $p < 1$；$\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ 收敛当且仅当 $p > 1$。
• $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t}\,dt$ 对 $s > 0$ 收敛，定义 Gamma 函数。

后续

广义积分是概率论中密度函数积分、Fourier 变换与 Laplace 变换（见拉普拉斯变换）的常用入口；Gamma/Beta 函数、以及 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的比较都建立在这一概念之上。