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拉普拉斯逆变换

Reflect314数学公式

拉普拉斯逆变换

反演积分公式

由像函数 F(s)F (s) 求像原函数的一般公式，称为反演积分公式. 其中右端的积分称为反演积分，其积分路径是 ss 平面上的一条直线 Re⁡s=β\operatorname{Re}s = \beta ，该直线处于 F(s)F (s) 的存在域中.

f(t)=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estds(t>0)f(t)= \frac {1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\beta - \mathrm{j} \infty}^{\beta + \mathrm{j} \infty} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s \quad (t > 0)

由于 F(s)F (s) 在存在域中解析，因而在此直线的右边不包含 F(s)F (s) 的奇点. 另外，从f(t)u(t)=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estdsf(t)u(t)= \frac {1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\beta - \mathrm{j} \infty}^{\beta + \mathrm{j} \infty} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s中可以看出，由反演积分算出的结果当 t<0t < 0 时为零.

推导

由拉氏变换与傅氏变换的关系可知，函数 f(t)f (t) 的拉氏变换 F(s)=F(β+jω)F (s) = F (\beta + \mathrm{j}\omega) 就是 f(t)u(t)e−βtf(t)u (t)\mathrm{e}^{-\beta t} 的傅氏变换，即 $$F (\beta + \mathrm{j} \omega) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(t)u(t)\mathrm{e}^{- \beta t} \cdot \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t$$

因此当 f(t)u(t)e−βtf(t)u (t)\mathrm{e}^{-\beta t} 满足傅氏积分定理的条件时，按傅氏逆变换，在 f(t)f (t) 的连续点 tt 处有 $$f(t)u(t)\mathrm{e}^{- \beta t} = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (\beta + \mathrm{j} \omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega$$

事实上, 这里仅要求 β\beta 在 F(s)F (s) 的存在域内即可. 将两边同乘 eβte^{\beta t} , 并令 s=β+jωs=\beta+j\omega , 则有 $$f(t)u(t)= \frac {1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\beta - \mathrm{j} \infty}^{\beta + \mathrm{j} \infty} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s$$

因此有 $$f(t)= \frac {1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\beta - \mathrm{j} \infty}^{\beta + \mathrm{j} \infty} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s \quad (t > 0)$$

利用留数计算反演积分

设 F(s)F (s) 除在半平面 Re⁡s⩽c\operatorname{Re} s \leqslant c 内有限个孤立奇点 s1,s2,⋯ ,sns_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n} 外是解析的，且当 s→∞s \to \infty 时， F(s)→0F (s) \to 0 ，则有

f(t)=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estds=∑k=1nRes⁡[F(s)est,sk],f(t)=\frac {1}{2 \pi \mathrm{j}} \int_{\beta - \mathrm{j} \infty}^{\beta + \mathrm{j} \infty} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s = \sum_{k = 1}^{n} \operatorname{Res} [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, s_{k} ],

即

f(t)=∑k=1nRes[F(s)est,sk](t>0)f(t)= \sum_{k = 1}^{n} \mathrm{Res} [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, s_{k} ] \quad (t > 0)

计算过程依据留数定理

证明

证：如图, 曲线 C=L+CRC = L + C_{R} , LL 在平面 Re⁡s\operatorname{Re}s > cc 内, CRC_{R} 是半径为 RR 的半圆弧, 当 RR 充分大时, 可使 sk(k=1,2,⋯ ,n)s_{k} (k = 1, 2, \cdots, n) 都在 CC 内. 由于 F(s)estF (s) e^{s t} 除孤立奇点 sk(k=1,2,⋯ ,n)s_{k} (k = 1, 2, \cdots, n) 外是解析的. 故由留数定理有 $$\oint_{C} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s = 2 \pi \mathrm{j} \sum_{k = 1}^{n} \operatorname{Res} [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, s_{k} ],$$

即 $$\frac {1}{2 \pi \mathrm{j}} \left[ \int_{\beta - \mathrm{j} R}^{\beta + \mathrm{j} R} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s + \int_{C_{R}} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s \right] = \sum_{k = 1}^{n} \operatorname{Res} [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, s_{k} ].$$

又由若尔当引理，当 t>0t>0 时有 $$\lim_{R \to + \infty} \int_{C_{R}} F (s) \mathrm{e}^{s t} \mathrm{d} s = 0,$$

因此有 12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estds=∑k=1nRe⁡s[F(s)est,sk].\frac{1}{2\pi\mathrm{j}}\int_{\beta -\mathrm{j}\infty}^{\beta +\mathrm{j}\infty}F (s)\mathrm{e}^{st}\mathrm{d}s = \sum_{k = 1}^{n}\operatorname {Re}s[F (s)\mathrm{e}^{st}, s_k].

例题：已知 F(s)=1(s−2)(s−1)2F (s) = \frac{1}{(s - 2)(s - 1)^2} ，求 f(t)=L−1[F(s)]f(t)= \mathcal{L}^{-1}[F (s)]

解法一：利用部分分式求解.

对 F(s)F (s) 进行分解可得$$F (s) = \frac {1}{s - 2} - \frac {1}{s - 1} - \frac {1}{(s - 1)^{2}},$$

由于 L−1[1s−a]=eat,L−1[1(s−1)2]=tet\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s - a}\right] = \mathrm{e}^{a t},\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s - 1)^2}\right] = te^t (见 拉普拉斯变换简表) ，故 $$f(t)= \mathrm{e}^{2 t} - \mathrm{e}^{t} - t \mathrm{e}^{t}.$$

解法二：利用卷积求解.

设 F1(s)=1s−2,F2(s)=1(s−1)2F_{1}(s) = \frac{1}{s - 2}, F_{2}(s) = \frac{1}{(s - 1)^{2}} ，则 F(s)=F1(s)⋅F2(s)F (s) = F_{1}(s) \cdot F_{2}(s) . 又由于 f1(t)=L−1[F1(s)]=e2t,f2(t)=L−1[F2(s)]=tetf_{1}(t) = \mathcal{L}^{-1}[F_{1}(s)] = \mathrm{e}^{2t}, f_{2}(t) = \mathcal{L}^{-1}[F_{2}(s)] = t\mathrm{e}^{t} ，根据卷积定理有$$\begin{array}{r l} f(t)& = f_{1}(t)* f_{2}(t)= \int_{0}^{t} \tau \mathrm{e}^{\tau} \cdot \mathrm{e}^{2 (t - \tau)} \mathrm{d} \tau \ & = \mathrm{e}^{2 t} \int_{0}^{t} \tau \mathrm{e}^{- \tau} \mathrm{d} \tau = \mathrm{e}^{2 t} (1 - \mathrm{e}^{- t} - t \mathrm{e}^{- t}) \ & = \mathrm{e}^{2 t} - \mathrm{e}^{t} - t \mathrm{e}^{t}. \end{array}$$

解法三：利用留数求解.

像函数 F(s)F (s) 的奇点为 s1=2,s2=1s_{1}=2, s_{2}=1 ，且分别为简单极点与二阶极点，应用 f(t)=∑k=1nRe⁡s[F(s)est,sk](t>0)f(t)= \sum_{k = 1}^{n} \operatorname{Re}s [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, s_{k} ] \quad (t > 0) 及留数计算法则，有$$\begin{array}{r l} f(t)& = \mathrm{Res} [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, 2 ] + \mathrm{Res} [ F (s) \mathrm{e}^{s t}, 1 ] \ & = \frac {\mathrm{e}^{s t}}{(s - 1)^{2}} \Big |{s = 2} + \left (\frac {\mathrm{e}^{s t}}{s - 2}\right)^{\prime} \Big | = \mathrm{e}^{2 t} - \mathrm{e}^{t} - t \mathrm{e}^{t}. \end{array}$$

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