例题1

求解常微分方程

$$x^{\prime \prime}(t)- 2 x^{\prime}(t)+ 2 x(t)= 2 \mathrm{e}^{t} \cos t, x (0) = x^{\prime} (0) = 0.$$

解:

令 $X (s) = \mathcal{L}[x (t)]$ ，在方程两边取拉氏变换，并应用初始条件，得

$$s^{2} X (s) - 2 s X (s) + 2 X (s) = \frac {2 (s - 1)}{(s - 1)^{2} + 1}.$$

求解此方程得

$$X (s) = \frac {2 (s - 1)}{\left[ (s - 1)^{2} + 1 \right]^{2}},$$

求拉氏逆变换, 得

$$\begin{array}{r l} x(t)& = \mathcal {L}^{- 1} [ X (s) ] = \mathcal {L}^{- 1} \left[ \frac {2 (s - 1)}{[ (s - 1)^{2} + 1 ]^{2}} \right] \\ & = \mathrm{e}^{t} \mathcal {L}^{- 1} \left[ \frac {2 s}{(s^{2} + 1)^{2}} \right] = \mathrm{e}^{t} \mathcal {L}^{- 1} \left[ \left (\frac {- 1}{s^{2} + 1}\right)^{\prime} \right] \\ & = t \mathrm{e}^{t} \mathcal {L}^{- 1} \left[ \frac {1}{s^{2} + 1} \right] = t \mathrm{e}^{t} \sin t. \end{array}$$

例题2

求解常微分方程组

$$\left\{ \begin{array}{l l} x^{\prime}(t)+ x(t)- y(t)= \mathrm{e}^{t}, \\ y^{\prime}(t)+ 3 x(t)- 2 y(t)= 2 \mathrm{e}^{t}, \end{array} \right. \quad x (0) = y (0) = 1.$$

解：

令 $X (s) = \mathcal{L}[x (t)]$ ， $Y (s) = \mathcal{L}[y (t)]$ ，对方程两边取拉氏变换，并应用初始条件得

$$\left\{ \begin{array}{l} s X (s) - 1 + X (s) - Y (s) = \frac {1}{s - 1}, \\ s Y (s) - 1 + 3 X (s) - 2 Y (s) = 2 \frac {1}{s - 1}. \end{array} \right.$$

求解得

$$X (s) = Y (s) = \frac {1}{s - 1},$$

取拉氏逆变换得原方程组的解为

$$x(t)= y(t)= \mathrm{e}^{t}.$$

例题3

设质量为 $m$ 的物体静止在原点，在 $t$=0 时受到 $x$ 方向上的冲击力 $F_{0}\delta (t)$ 的作用，其中 $F_{0}$ 为常数，求物体的运动方程.

解:

物体运动的微分方程初值问题为

$$m \frac {\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}} x(t)= F_{0} \delta (t), \quad x (0) = x^{\prime} (0) = 0.$$

令 $X (s)=\mathcal{L}[x (t)]$ ，在方程两边取拉氏变换，得 $ms^{2}X (s)=F_{0}$ ，即

$$X (s) = \frac {F_{0}}{m s^{2}}.$$

求拉氏逆变换得物体的运动方程为 $x (t)=\frac{F_{0}}{m}t.$

本例中关于 $\delta$ 函数的拉氏变换涉及拉氏变换本身的定义问题. 一般说来, 若函数 $f (t)$ 在 $t = 0$ 附近有界, 则 $f (0)$ 的取值对拉氏变换没有影响, 但若 $f (t)$ 在 $t = 0$ 时刻包含了冲激函数, 则有必要考察一下拉氏变换中积分限的设定. 对积分下限分别取 $0^{+}$ 和 $0^{-}$ , 可得下面两种形式的拉氏变换:

$$\mathcal {L}_{+} [ f(t)] = \int_{0^{+}}^{+ \infty} f(t)\mathrm{e}^{- s t} \mathrm{d} t,$$

$$\mathcal {L}_{-} [ f(t)] = \int_{0^{-}}^{+ \infty} f(t)\mathrm{e}^{- s t} \mathrm{d} t.$$

对于在 $t = 0$ 不含冲激函数的 $f (t)$ ，有 $\mathcal{L}_{+}[f (t)] = \mathcal{L}_{-}[f (t)]$ ，因此以前的讨论不受影响。但对于 $\delta$ 函数而言，则有 $\mathcal{L}_{+}[\delta (t)] = 0, \mathcal{L}_{-}[\delta (t)] = 1$ 。考虑到 $\delta$ 函数的傅氏变换为 1，为统一起见，我们推荐使用后一种方式。此时有关公式要作相应的修改。