傅里叶积分定理

如果 $f(t)$ 在 $(-∞,+∞)$ 上的任一有限区间满足狄氏条件，且在 $(-∞,+∞)$ 上绝对可积（即 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm{d}t<+\infty$ ），那么傅里叶积分公式成立。在 $f(t)$ 的间断点处，该式的左端应为 $\frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)]$ 。

$$f (t) = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \left[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f (\tau) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega \tau} \mathrm{d} \tau \right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega$$

推导

从物理意义上讲, 傅里叶级数展开说明了周期为 $T$ 的函数 $f_{T}(t)$ 仅包含离散的频率成分, 即它可由一系列以 $\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}$ 为间隔的离散频率所形成的简谐波合成 (求和), 因而其频谱以 $\omega_{0}$ 为间隔离散取值. 当 $T$ 越来越大时, 取值间隔 $\omega_{0}$ 越来越小; 当 $T\to +\infty$ 时, 周期函数变成了非周期函数, 其频谱将在 $\omega$ 上连续取值, 即一个非周期函数将包含所有的频率成分. 这样离散函数的求和就变成连续函数的积分了.

我们按照上面的分析方式 (即令 $T \rightarrow +\infty$ ), 由周期函数的傅里叶级数来推导非周期函数的傅里叶积分公式. 这里只是形式推导, 并不是严格的证明. 有关严格证明可参考数学分析方面的相关教材.

1. 将非周期函数 $f(t)$ 看成是由周期函数 $f_{T}(t)$ 当 $T \to +\infty$ 时转化来的，由傅里叶级数的复指数形式与系数 $c_{n}$ 有 $$f (t) = \lim_{T \rightarrow + \infty} f_{T} (t) = \lim_{T \rightarrow + \infty} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left[ \frac {1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (\tau) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} n \omega_{0} \tau} \mathrm{d} \tau \right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} n \omega_{0} t}.$$
2. 将间隔 $\omega_0$ 记为 $\Delta \omega$ ，节点 $n\omega_0$ 记为 $\omega_{n}$ ，并由 $T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{\Delta\omega}$ 得 $$f (t) = \frac {1}{2 \pi} \lim_{\Delta \omega \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left[ \int_{- \frac {\pi}{\Delta \omega}}^{\frac {\pi}{\Delta \omega}} f_{T} (\tau) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega_{n} \tau} \mathrm{d} \tau \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{n} t} \right] \Delta \omega .$$
3. 这是一个和式的极限, 按照积分定义, 在一定条件下, 上式可写为$$
   f (t) = \frac {1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} \left[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f (\tau) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} \omega \tau} \mathrm{d} \tau \right] \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega$$