拉普拉斯变换存在定理

设函数 $f (t)$ 满足：

1. 在 $t \geqslant 0$ 的任何有限区间上分段连续；
2. 当 $t \to +\infty$ 时, $f (t)$ 具有有限的增长性, 即存在常数 $M>0$ 及 $c$, 使得 $$\mid f(t)\mid \leqslant M \mathrm{e}^{c t} \quad (0 \leqslant t < + \infty)$$
   • 其中 $c$ 称为 $f (t)$ 的增长指数. 则像函数 $F (s)$ 在半平面 $\operatorname{Re} s$ > $c$ 上一定存在, 且是解析的.

证：设 $s = \beta +\mathrm{j}\omega$ ，则 $\left|\mathrm{e}^{-st}\right| = \mathrm{e}^{-\beta t}$ ，由不等式$\mid f(t)\mid \leqslant M \mathrm{e}^{c t} \quad (0 \leqslant t < + \infty)$可得

$$\mid F (s) \mid = \mid \int_{0}^{+ \infty} f(t)\mathrm{e}^{- s t} \mathrm{d} t \mid \leqslant M \int_{0}^{+ \infty} \mathrm{e}^{- (\beta - c) t} \mathrm{d} t.$$

由 $\operatorname{Re}s = \beta > c$ ，即 $\beta - c > 0$ ，可知上式右端积分收敛，因此 $F (s)$ 在半平面 $\operatorname{Re}s > c$ 上存在。关于 $F (s)$ 的解析性证明涉及更深一些的有关理论，故从略。

对于拉普拉斯变换存在定理, 我们可以这样简单地去理解, 如果一个函数, 即使它的绝对值随着 $t$ 的增大而增大, 但只要不比某个指数函数增长得快, 则它的拉氏变换存在, 这可以从拉氏变换与傅氏变换的关系中得到一种直观的解释.

另外, 关于存在域, 拉普拉斯变换存在定理中所给的只是一个充分性的结论, 但从形式上看, 它往往是一个半平面. 更具体地说, 对任何一个函数 $f (t)$ ,其拉氏变换 $F (s)$ 为下列三种情况之一:

1. $F (s)$ 不存在；
2. $F (s)$ 处处存在, 即存在域是全平面;
3. 存在实数 $s_0$ ，当 $\operatorname{Re}s > s_0$ 时， $F (s)$ 存在；当 $\operatorname{Re}s < s_0$ 时， $F(s)$ 不存在，即存在域为 $\operatorname{Re}s > s_0$ .

对于上面的第三种情况, 在应用时, 我们常常略去 $\operatorname{Re} s > s_{0}$ , 只有在非常必要时才特别注明. 如 $f(t)= 1$ 的拉氏变换就是 $F (s) = \frac{1}{s}$ , 而不再附注条件 $\operatorname{Re}s > 0$ . 其他函数也同样处理.

例题：求函数 $f (t)=\mathrm{e}^{a t}$ 的拉氏变换 ($a$ 为复常数).

解：

由 $|\mathrm{e}^{a t}| = \mathrm{e}^{\operatorname{Re} a t}$ , 可知 $\mathrm{e}^{a t}$ 的增长指数为 $\operatorname{Re} a$ , 因此 $\mathcal{L}[\mathrm{e}^{a t}]$ 在 $\operatorname{Re} s > \operatorname{Re} a$ 内解析. 由定义有

$$\mathcal {L} \left[ \mathrm{e}^{a t} \right] = \int_{0}^{+ \infty} \mathrm{e}^{a t} \mathrm{e}^{- s t} \mathrm{d} t = \int_{0}^{+ \infty} \mathrm{e}^{- (s - a) t} \mathrm{d} t = \frac {1}{s - a}.$$