傅里叶变换

傅里叶变换把时域函数分解为不同频率的正弦（复指数）分量的叠加，是时域与频域之间的坐标变换。

定义

一维傅里叶正变换

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

其中 $\omega$ 为角频率，与频率 $f$ 满足 $\omega=2\pi f$。也常写作

$$\hat{f}(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-2\pi i f t}\,dt$$

逆变换

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$$

意义

傅里叶变换用一组正交的复指数 $e^{i\omega t}$ 重建信号。$e^{i\omega t}$（由欧拉公式展开为正余弦）是基本模式，$F(\omega)=\lvert F(\omega)\rvert e^{i\phi}$ 是该模式的振幅与相位（辐长与辐角），即特征值。频域上每一点浓缩了时域中对应模式的整体信息，从时域到频域相当于在 Hilbert 空间做一次坐标变换，所有分量的线性组合即逆变换。

变种

傅里叶变换有几个常见的变种：

1. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）：适用于离散时间和离散频率的信号处理，如数字音频和图像处理。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）：是 DFT 的一种高效算法，显著降低计算复杂度，广泛用于实时信号处理和频谱分析。
3. 带通滤波器：通过限制信号在某个频率范围内的能量实现滤波，常见的有高通滤波器和低通滤波器。
4. 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）：用于分析非平稳信号，将信号分成短时间窗口分别做傅里叶变换。