紧算子的对偶

对偶空间理论（见对偶空间（泛函分析））中的算子转置在紧算子类上表现良好：$T$ 紧当且仅当其对偶算子 $T^*$ 紧。这使紧性在对偶两边"对称"传播，是紧算子的谱中特征值结构保持对称的深层原因。前置依赖：紧算子的定义、对偶算子、对偶空间（泛函分析）。

Schauder 定理

设 $X,Y$ 为巴拿赫空间，$T\in B(X,Y)$。则 $T$ 紧 $\Leftrightarrow$ $T^*\in B(Y^*,X^*)$ 紧。

证明思路（$T$ 紧 $\Rightarrow$ $T^*$ 紧）

1. 用有限秩算子一致逼近 $T$（在可分情形）：$T=\lim T_n$，$\dim T_n(X)<\infty$
2. 有限秩算子 $T_n$ 的对偶 $T_n^*$ 仍有限秩（值域含于 $T_n(X)$ 的有限维对偶），故紧
3. 由 $\|T_n^*-T^*\|=\|T_n-T\|\to 0$（对偶范数保持）与紧算子空间闭（见紧算子的基本性质）得 $T^*$ 紧

推论

• 若 $T^{**}:X^{**}\to Y^{**}$ 紧，则 $T$ 紧（限制到 $X$），故三者的紧性等价
• 紧算子的特征值在对偶中保持：$\lambda\in\sigma_p(T)\setminus\{0\}$ 当且仅当 $\lambda\in\sigma_p(T^*)$（Riesz–Schauder 理论）

后续

Schauder 定理是紧算子谱理论（紧算子的谱）与Fredholm择一定理的基础，使积分方程与其转置方程的可解性条件一一对应。