正规子群

并不是所有子群都能用来"求商"：要在陪集集合 $G/H$ 上定义群运算，需要 $H$ 在共轭下不变——这就是正规子群。它是同态理论的核心对象，同态的核总是正规子群。需先掌握子群与陪集。

定义

子群 $N\le G$ 称为正规子群（记 $N\triangleleft G$），若对任意 $g\in G$ 有

$$gNg^{-1}=N$$

即 $gN=Ng$ 对所有 $g$ 成立（左陪集等于右陪集）。

判定与性质

• 判定：$N\le G$ 且对任意 $g\in G,\ n\in N$ 有 $gng^{-1}\in N$，则 $N\triangleleft G$。
• 阿贝尔群的所有子群都正规。
• 指数为 2 的子群必正规（如 $A_n\triangleleft S_n$）。
• 同态 $\phi:G\to H$ 的核 $\ker\phi=\{g\in G:\phi(g)=e_H\}$ 是 $G$ 的正规子群。

示例

• $\mathbb{Z}$ 中 $n\mathbb{Z}\triangleleft\mathbb{Z}$（阿贝尔）。
• 交错群 $A_n\triangleleft S_n$（指数 2）。
• $SL(n,\mathbb{R})\triangleleft GL(n,\mathbb{R})$（行列式为 1 的矩阵，共轭保持行列式）。

应用

正规子群是构造商群 $G/N$ 的充要条件，也是同态基本定理（$G/\ker\phi\cong\operatorname{im}\phi$）与覆盖空间 Galois 对应中"正规覆盖"概念的基础。