自同构

自同构回答“一个代数结构能怎样对称地映射回自身”：它是结构到自身的同构（特别是一种同态），编码了结构内部的对称性。全部自同构在复合下构成群，也就是这个结构的对称群；伽罗瓦理论正是从域自同构群出发刻画方程的可解性。

定义

代数结构 $X$（群、环、域等）的自同构是双射同态 $\varphi:X\to X$。全体自同构在复合运算下构成群 $\operatorname{Aut}(X)$：恒等映射是单位元，同构的逆仍是同构。$X$ 为群 $G$ 时，$\operatorname{Aut}(G)$ 是对称群与置换群意义的"保持群结构的置换群"。

内自同构

固定 $g\in G$，共轭映射 $c_g:x\mapsto gxg^{-1}$ 是 $G$ 的自同构，称为内自同构；全部内自同构记作 $\operatorname{Inn}(G)$，它是 $\operatorname{Aut}(G)$ 的正规子群。$g\mapsto c_g$ 给出满同态 $G\twoheadrightarrow\operatorname{Inn}(G)$，其核是中心 $Z(G)$，故

$$G/Z(G)\cong\operatorname{Inn}(G)$$

商群 $\operatorname{Out}(G)=\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)$ 称为外自同构群，度量"非共轭引起的对称"。$G$ 为阿贝尔群时 $\operatorname{Inn}(G)=\{1\}$，$\operatorname{Aut}(G)=\operatorname{Out}(G)$。

示例

• $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}_2$：自同构仅 $n\mapsto n$ 与 $n\mapsto -n$ 两个。
• $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)\cong(\mathbb{Z}_n)^\times$：自同构形如 $x\mapsto kx$（$k$ 与 $n$ 互素），个数为 $\varphi(n)$。
• $\operatorname{Aut}(S_3)\cong S_3$，且全部由内自同构给出（$S_3$ 中心平凡，见对称群与置换群）。
• 复共轭是 $\mathbb{C}$ 的域自同构；Frobenius 映射 $x\mapsto x^p$ 是 $\mathbb{F}_{p^n}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的自同构，生成伽罗瓦群（见有限域）。

应用

自同构群把"对称性"变为可计算对象：伽罗瓦理论中域扩张的自同构群与其子群和中间域一一对应；群的自同构群用于群分类、图的自同构刻画组合对称；$\mathbb{F}_{p^n}$ 的 Frobenius 自同构群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)\cong\mathbb{Z}_n$ 是有限域理论的基础（见有限域）。