子群

子群是群内部的"子结构"：取群 $G$ 的一个子集，若它在 $G$ 的运算下自身也成群，就称它为子群。研究子群是把大群拆成小块来理解的方法，也是拉格朗日定理与商群构造的出发点。需先掌握群与二元运算。

定义

设 $(G,\cdot)$ 为群，$H\subseteq G$ 非空。若 $H$ 在 $G$ 的运算 $\cdot$ 下自身构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记作 $H\le G$。

判定条件：$H$ 非空，且对任意 $a,b\in H$ 有 $ab^{-1}\in H$，则 $H\le G$（单步判定）。

性质

• 子群 $H$ 与 $G$ 有相同的单位元 $e$；$H$ 中元素的逆元与在 $G$ 中的逆元一致。
• 一族子群的交集仍是子群。
• 阿贝尔群的子群仍为阿贝尔群；循环群的子群仍为循环群。
• 子群 $H\le G$ 的元素阶在 $G$ 中不变。

示例

• $(\mathbb{Z},+)$ 中 $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in\mathbb{Z}\}$ 是子群。
• $\mathbb{Z}_6$ 中 $\{0,2,4\}$ 是子群（由 $2$ 生成的 3 阶子群）。
• 二面体群 $D_4$ 的旋转子群 $\{r^0,r^1,r^2,r^3\}$。

应用

子群是拉格朗日定理（$|H|\mid|G|$）的前提；正规子群进一步允许构造商群；覆盖空间理论中基本群的子群与覆盖空间一一对应（Galois 对应）。