陪集与拉格朗日定理

陪集是子群在群中的"平移"：$gH=\{gh:h\in H\}$。它把群分成大小相等的若干块，由此得到拉格朗日定理——有限群的阶等于子群阶乘以子群指数。这是群论最基本的计数定理。需先掌握群与子群。

定义

设 $H\le G$，$g\in G$。集合

$$gH=\{gh:h\in H\}$$

称为 $H$ 的左陪集，$Hg=\{hg:h\in H\}$ 为右陪集。

性质

• 陪集划分群：任意两个左陪集相等或不相交，且 $\bigcup_{g\in G}gH=G$。
• $|gH|=|H|$（$h\mapsto gh$ 是双射）。
• 左陪集个数与右陪集个数相等，称为指数 $[G:H]$。

拉格朗日定理

若 $G$ 为有限群，$H\le G$，则

$$|G|=[G:H]\cdot|H|$$

即 $|H|$ 整除 $|G|$。

推论：有限群中元素的阶整除 $|G|$；素数阶群必为循环群。

示例

$\mathbb{Z}_{12}$ 的子群 $H=\{0,4,8\}$ 有 $3$ 个元素，$[G:H]=12/3=4$，四个陪集为

$$0+H,\quad 1+H,\quad 2+H,\quad 3+H$$

每个陪集恰有 3 个元素，互不相交地覆盖 $\mathbb{Z}_{12}$。

应用

陪集是构造商群 $G/H$ 的基础；拉格朗日定理用于判定子群不存在（如 $|G|=6$ 时无 4 阶子群）、分析有限群结构，也是初等数论中费马小定理的群论来源（$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 的阶为 $p-1$）。