阿贝尔群

阿贝尔群是运算满足交换律的群，即"加法可交换"的群；整数加法、奇异同调群都是典型的阿贝尔群。需先掌握群与二元运算。

定义

若群 $(G,\cdot)$ 的运算还满足交换律

$$a\cdot b = b\cdot a \quad (\forall a,b\in G)$$

则称 $G$ 为阿贝尔群（交换群，Abelian group）。阿贝尔群的运算常记作加法 $+$。

性质

• 阿贝尔群的所有子群都是正规子群，因此商群总是可定义。
• 有限阿贝尔群结构定理：有限阿贝尔群同构于循环群的直积 $\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_k}$。
• 阿贝尔群的同态保持加法：$\phi(u+v)=\phi(u)+\phi(v)$。

示例

• $(\mathbb{Z},+)$、$(\mathbb{Q},+)$、$(\mathbb{R}^\times,\cdot)$ 都是阿贝尔群。
• $n\ge 3$ 时的对称群 $S_n$ 与一般线性群 $GL(n)$ 不是阿贝尔群。

应用

环、域的加法群都是阿贝尔群（见加法运算）；奇异同调群与阿贝尔范畴都以阿贝尔群为基本对象。