环同态

环同态回答“如何把一个环的结构搬到另一个环中且不破坏运算”：它是保持加法和乘法的映射，是同态思想在环上的具体化。群同态的核是正规子群，环同态的核则是理想；这种对应解释了理想在环论中的核心地位。

定义

设 $R$、$S$ 为环，映射 $\varphi:R\to S$ 称为环同态，若对任意 $a,b\in R$：

$$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\qquad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$$

若 $R$、$S$ 含乘法单位元，通常还要求 $\varphi(1_R)=1_S$（保持单位元）。环同态自动保持加法零元与加法逆元：$\varphi(0_R)=0_S$、$\varphi(-a)=-\varphi(a)$。

性质

• 核与像：$\ker\varphi=\{\,r\in R:\varphi(r)=0\,\}$ 是 $R$ 的理想，$\operatorname{im}\varphi$ 是 $S$ 的子环；$\varphi$ 单射 $\iff\ker\varphi=\{0\}$。
• 同态基本定理（环版本）：$R/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$，与群情形同构（见同态基本定理与商环）。
• 域到环的非零环同态必单射（域无非平凡理想，见域）。
• 环同态复合仍是环同态；双射环同态称为环同构，环同构保持环的一切结构性质。

示例

• 模归约 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$，$k\mapsto k\bmod n$ 是满环同态，核 $n\mathbb{Z}$。
• 求值同态 $\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}$，$f(x)\mapsto f(0)$，核为 $(x)$。
• 嵌入 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$，$a\mapsto a/1$ 是单射环同态，是商域构造的雏形。
• 复共轭 $z\mapsto\bar z$ 是 $\mathbb{C}$ 的环同态（也是自同构，见自同构）。

应用

环同态是商环和代数几何坐标环的基本语言。若理想 $I,J\lhd R$ 互素，即 $I+J=R$，中国剩余定理才给出

$$R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J.$$

保持单位元的约定保证像仍含 $1$。环同态的分类问题与理想结构紧密相连，是交换代数与代数数论的起点。