同态基本定理

同态基本定理把"研究同态"归结为"研究核与像"：同态 $\phi$ 的核 $\ker\phi$ 必为正规子群，且商群 $G/\ker\phi$ 与像 $\operatorname{im}\phi$ 同构。它是群论乃至环、模、向量空间结构理论的共同纲领。需先掌握同态、正规子群与商群。

第一同构定理

设 $\phi:G\to H$ 为群同态，则

$$G/\ker\phi\;\cong\;\operatorname{im}\phi$$

证明要点：映射 $\bar\phi(g\ker\phi)=\phi(g)$ 良定义——若 $g\ker\phi=g'\ker\phi$，则 $g'^{-1}g\in\ker\phi$，故 $\phi(g')=\phi(g)$；$\bar\phi$ 是满同态且单射。

第二同构定理

若 $N\triangleleft G$ 且 $H\le G$，则 $HN/N\cong H/(H\cap N)$。

第三同构定理

若 $N\subseteq K\triangleleft G$，则 $G/K\cong(G/N)/(K/N)$。

应用

• 具体同构的构造：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n$，$S_n/A_n\cong\mathbb{Z}_2$，$GL(n,\mathbb{R})/SL(n,\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^\times$。
• 判定同态像：$\phi$ 为满同态当且仅当 $\operatorname{im}\phi=H$；$\phi$ 为单射当且仅当 $\ker\phi=\{e\}$。
• 伽罗瓦理论中中间域与中间子群的一一对应、环与模的结构定理都沿用这一模式。