商群

商群把群"按子群取模"：把正规子群 $N$ 的陪集 $gN$ 当作元素，得到的新群 $G/N$ 保留原群的部分结构但更小。它把大群的研究归结为子群与商群，是同态基本定理的主角。需先掌握正规子群与陪集。

定义

设 $N\triangleleft G$。在陪集集合

$$G/N=\{gN:g\in G\}$$

上定义运算 $(gN)(hN)=(gh)N$。由于 $N$ 正规，此运算良定义（与代表元选取无关），$(G/N,\cdot)$ 构成群，称为 $G$ 关于 $N$ 的商群。

性质

• $|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$（$G$ 有限）。
• 自然同态 $\pi:G\to G/N$，$g\mapsto gN$，是满同态且 $\ker\pi=N$。
• $G$ 为阿贝尔群时 $G/N$ 也为阿贝尔群。
• 同态基本定理：$\phi:G\to H$ 同态 $\Rightarrow$ $G/\ker\phi\cong\operatorname{im}\phi$。

示例

• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n$。
• $S_n/A_n\cong\mathbb{Z}_2$（$A_n$ 指数 2，商群为二阶群）。
• $\mathbb{Z}_{12}/\langle4\rangle$：$\langle4\rangle=\{0,4,8\}$，商群 $\cong\mathbb{Z}_4$。

应用

商群用于构造与分类群：同态基本定理把同态的分析化为核与像；可解群（逐次取商群）理论是伽罗瓦理论的基础；覆盖空间中 $X$ 的连通覆盖与 $\pi_1(X)$ 的子群对应，正规覆盖对应正规子群的商群。