群作用

群作用让抽象群"动起来"：每个群元素作为一个变换作用在集合上。它是群论连接几何对称、组合计数与物理的桥梁，也是轨道-稳定子定理与 Burnside 引理的基础。需先掌握群、对称群与置换群与陪集。

定义

群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用是映射 $G\times X\to X$，$(g,x)\mapsto g\cdot x$，满足

$$e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$$

轨道与稳定子

• 轨道 $Gx=\{g\cdot x:g\in G\}$ 是 $x$ 在作用下的可达集，全体轨道划分 $X$。
• 稳定子 $G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}$ 是固定 $x$ 的元素的集合，构成 $G$ 的子群。
• 轨道-稳定子定理：$|Gx|=[G:G_x]$；$G$ 有限时 $|Gx|\cdot|G_x|=|G|$。

Burnside 引理

有限群 $G$ 作用在有限集 $X$ 上时，轨道数等于各群元素不动点数的平均：

$$\text{轨道数}=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\bigl|\{x\in X:g\cdot x=x\}\bigr|$$

应用

• 计数：用 Burnside 引理统计旋转、翻转下"不同"的染色方案数。
• 证明：左乘作用给出 Cayley 定理（见对称群与置换群）；共轭作用 $g\cdot x=gxg^{-1}$ 的轨道是共轭类，稳定子是中心化子，由此得到类方程并导出 $p$-群的经典结论。
• 结构：正规子群恰是"在共轭作用下不变"的子群（见正规子群）。