对称群与置换群

对称群是"对称性"本身的代数化：把 $n$ 个对象重新排列得到的群。它是群论最重要的例子库——Cayley 定理说每个群都同构于某个对称群的子群，所以研究对称群等于研究一切群。需先掌握群与子群。

定义

$n$ 元对称群 $S_n$ 是集合 $\{1,2,\dots,n\}$ 上所有双射（置换）构成的群，运算是映射复合，阶为 $n!$。$S_n$ 的子群统称置换群。

置换的轮换分解：任何置换可唯一地（不计顺序）分解为不交轮换的乘积，如 $(123)(45)$ 表示 $1\mapsto2\mapsto3\mapsto1$ 且 $4\leftrightarrow5$。

经典例子

• $S_3$：6 个元素——恒等、三个对换 $(12),(13),(23)$、两个 3-轮换 $(123),(132)$。
• 二面体群 $D_n$：正 $n$ 边形的对称群，$2n$ 个元素（$n$ 个旋转 + $n$ 个反射）。$D_4$ 是正方形的对称群（8 个元素），可看作 $S_4$ 的子群。
• 交错群 $A_n$：偶置换构成的子群，$|A_n|=n!/2$。$A_n\triangleleft S_n$（指数 2，见正规子群）。

性质

• $n\ge3$ 时 $S_n$ 非阿贝尔：$(12)(23)\ne(23)(12)$。
• 全体对换生成 $S_n$；实际上 $(12)$ 与 $(12\cdots n)$ 两个元素就生成 $S_n$（见生成元）。
• Cayley 定理：每个群 $G$ 都同构于 $S_G$ 的一个子群（左乘 $g\cdot x=gx$ 给出嵌入 $G\hookrightarrow S_G$）。

应用

伽罗瓦理论以 $S_n$ 与 $A_n$ 的不可解性（$n\ge5$）证明五次及以上方程无根式解；物理中 $S_n$ 描述全同粒子的交换对称性；晶体学用 $D_n$ 等有限对称群分类晶体点群。