子流形

球面、环面、方程组的解集都是"大空间里的子集"。子流形理论回答：什么样的子集能继承光滑结构，从而成为新的微分流形。

需先掌握浸入与浸没与微分流形，并熟悉正则曲面（二维嵌入子流形）。

定义

$N$ 的嵌入子流形是嵌入 $f:M\hookrightarrow N$ 的像 $f(M)$（带从 $N$ 继承的子空间拓扑），其中 $M$ 是微分流形。余维数为 $\dim N-\dim M$。若只要求 $f$ 是单射浸入，则得到浸入子流形。

正则值定理

设 $F:N\to P$ 光滑，$q\in P$ 是正则值（对每个 $p\in F^{-1}(q)$，$dF_p$ 都满射）。则

$$S=F^{-1}(q)\subset N$$

是余维 $\dim P$ 的闭嵌入子流形，且 $T_pS=\ker dF_p$。

性质

• 嵌入子流形带子空间拓扑且继承唯一的光滑结构
• 开子集是余维 0 的子流形；超曲面（余维 1）可由单个函数 $F^{-1}(0)$ 定义（$0$ 为正则值时）
• 两个子流形横截相交（$T_pS_1+T_pS_2=T_pN$）时，交集仍是子流形，余维相加

示例

• $S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:|x|^2=1\}$：$F(x)=|x|^2$ 以 $1$ 为正则值
• 环面 $T^2\subset\mathbb{R}^3$：旋转曲面的嵌入像
• 一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 是 $M_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n^2}$ 的开子集（余维 0 子流形）；特殊线性群 $SL(n,\mathbb{R})=\det^{-1}(1)$ 是余维 1 的超曲面

应用

约束力学与约束优化（拉格朗日乘子）在子流形上进行；---曲面论---研究 $\mathbb{R}^3$ 中的二维子流形；Whitney 嵌入定理说明任意流形都可实现为某个欧氏空间的嵌入子流形。