连续映射与同胚

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连续映射把"邻近保持"从度量语言翻译成开集语言；两个拓扑空间被视为"本质上相同"当且仅当存在同胚，因此它是点集拓扑中"相等"的基准。

需先掌握拓扑空间的开集概念；理解度量空间中 $\varepsilon\text{-}\delta$ 连续与"开集原像为开集"的等价关系会有帮助。

定义

$f:X\to Y$ 称为连续映射，若 $Y$ 中每个开集的原像在 $X$ 中开。

同胚是双射且自身与其逆均连续的映射。存在同胚的两个空间称为同胚的，记作 $X\cong Y$ 。

拓扑嵌入是单射连续映射 $f:X\to Y$ ，且 $f:X\to f(X)$ 为同胚（ $f(X)$ 取子空间拓扑）。

$f$ 连续 $\iff$ 闭集的原像是闭集 $\iff$ 对任意 $A\subseteq X$ 有 $f(\operatorname{cl}(A))\subseteq\operatorname{cl}(f(A))$
度量空间之间： $f$ 连续 $\iff$ 对每个收敛列 $x_n\to x$ 有 $f(x_n)\to f(x)$
常值映射连续；连续映射的复合连续；恒等映射连续
同胚 $\iff$ 连续双射且为开映射（开集映为开集） $\iff$ 连续双射且为闭映射
拓扑性质（如紧致性、连通性、豪斯多夫性）在同胚下保持
紧致空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚

$\mathbb{R}\cong(-1,1)$ ： $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ 是双射，逆映射 $g(y)=\dfrac{y}{1-|y|}$ 连续
$[0,1]$ 与 $(0,1)$ 不同胚：前者紧致而后折不紧致（紧致性是拓扑性质）
$S^1$ 与 $[0,1)$ 不同胚： $S^1$ 紧致；且去掉 $S^1$ 任意一点仍连通，而去掉 $[0,1)$ 的内部点则不再连通

同胚分类是几何拓扑与代数拓扑的核心问题（见拓扑学）；嵌入把抽象空间实现为 $\mathbb{R}^n$ 或 Hilbert 立方体的子空间，见度量化与嵌入。