拓扑流形

拓扑流形是几何拓扑的基本对象：它把"局部像欧氏空间"的直觉严格化，是用连续映射与同胚比较空间形状之前必须先建立的舞台——球面、环面、射影空间首先作为拓扑流形存在，之后才谈得上光滑结构。

需先掌握拓扑空间与连续映射与同胚，并熟悉紧致性、连通性这两个基本拓扑性质。

定义

$n$ 维拓扑流形是满足以下条件的拓扑空间 $M$：

1. Hausdorff：任意两个不同点有不相交的开邻域；
2. 第二可数：存在可数拓扑基；
3. 局部欧氏：每点 $p\in M$ 有开邻域 $U$ 同胚于 $\mathbb{R}^n$ 的开子集。

局部坐标图 $(U,\varphi)$ 组成的覆盖称为图册；两个图的坐标变换 $\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$ 只要求连续（若要求光滑，则得到微分流形）。带边流形允许局部同胚于 $\mathbb{R}^{n-1}\times[0,\infty)$，边界记作 $\partial M$。

例子

• 球面 $S^n$、环面 $T^n=S^1\times\cdots\times S^1$、射影空间 $\mathbb{R}P^n$
• 欧氏空间中的正则曲面（如 $S^2\subset\mathbb{R}^3$）
• 莫比乌斯带与克莱因瓶是不可定向的二维流形（见曲面分类定理）

性质

• 紧致连通无边界流形称为闭流形；一维闭流形只有 $S^1$，二维闭流形由曲面分类定理完全分类
• 第二可数 + 局部欧氏保证流形可嵌入某个 $\mathbb{R}^N$（光滑情形 Whitney 嵌入定理给出 $n$ 维流形嵌入 $\mathbb{R}^{2n}$，见手术理论）
• 高维时拓扑流形与微分流形有本质差异：同胚不等价于微分同胚（Milnor 怪球、exotic $\mathbb{R}^4$，见手术理论）

应用

拓扑流形是后续所有几何拓扑工作的底空间：曲面分类定理分类二维情形，纽结是三维流形 $S^3$ 中的嵌入圆，三维流形与几何化研究三维闭流形的分解；微分流形则在其上添加光滑结构以进行微积分。