测度的定义与性质

测度是定义在 σ-代数 上的非负集函数，满足可数可加性，用于度量集合的"大小"，是可测函数与Lebesgue 积分的构建基础。

定义

设 $X$ 为集合，$\mathcal{A}$ 为 $X$ 上的 σ-代数。函数 $\mu: \mathcal{A} \to [0, \infty]$ 称为测度，若

1. $\mu(\varnothing) = 0$；
2. 可数可加性：对任意两两不相交的集合列 $\{A_n\} \subset \mathcal{A}$，

$$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$$

此时 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 称为测度空间。

性质

• 单调性：若 $A \subseteq B$，则 $\mu(A) \le \mu(B)$。
• 次可数可加性：$\mu\left(\bigcup_n A_n\right) \le \sum_n \mu(A_n)$。
• 下连续性：$A_n \uparrow A$ 时 $\mu(A_n) \uparrow \mu(A)$。
• 上连续性：$A_n \downarrow A$ 且 $\mu(A_1) < \infty$ 时 $\mu(A_n) \downarrow \mu(A)$。

例

• 计数测度：$\mu(A)$ 为 $A$ 中元素的个数。
• Lebesgue 测度：实数集上区间长度概念的推广。