外测度

Lebesgue 外测度把区间的长度推广到 $\mathbb{R}$ 的任意子集：用可数多个开区间覆盖集合，以覆盖总长度的下确界度量其"大小"。它是构造 Lebesgue 测度的第一步，回答"任意集合有多大"；但外测度在一切子集上不满足可数可加性，必须用 Carathéodory 条件筛出行为良好的可测集。需先掌握集合的基本性质与测度的定义与性质。

定义

对 $E \subseteq \mathbb{R}$，Lebesgue 外测度定义为

$$m^*(E) = \inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty} l(I_n) : E \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n,\ I_n \text{ 为开区间}\right\}$$

其中 $l(I)$ 表示区间 $I$ 的长度；对 $\mathbb{R}^n$ 用开长方体作同样的构造。

性质

• 非负单调：$m^*(\varnothing)=0$；若 $E \subseteq F$ 则 $m^*(E) \le m^*(F)$。
• 次可数可加：$m^*\left(\bigcup_{n} E_n\right) \le \sum_n m^*(E_n)$。
• 平移不变：$m^*(E+a)=m^*(E)$。
• 区间：开、闭区间（长方体）的外测度等于其长度（体积）。
• 可数集：可数集的外测度为 $0$，如 $m^*(\mathbb{Q})=0$。

为什么需要可测性条件

$m^*$ 对一切子集有定义，却不是测度：存在两两不交的集合 $A,B$ 使 $m^*(A\cup B) < m^*(A)+m^*(B)$（典型为 Vitali 集）。因此需把满足分解等式的集合单独挑出，即定义可测集；在可测集族上 $m^*$ 才恢复可数可加性。

后续

外测度是Lebesgue 测度、可测函数与Lebesgue 积分的出发点；正则性、完备性等测度性质以及 $L^p$ 空间的构造都建立在这一步之上。