几乎处处

测度论把零测集视为"可忽略"的：一个性质在去掉某个零测集后处处成立，就说它几乎处处成立。这一约定让"几乎相等"的函数彼此等同——正是$L^p$ 空间把几乎处处相等的函数归为同一元素的原因，也是把收敛定理的逐点假设放宽为几乎处处收敛的语言工具。需先掌握测度的定义与性质。

定义

设 $(X, \mathcal{A}, \mu)$ 为测度空间，性质 $P$ 对 $x \in X$ 有定义。若存在零测集 $N \in \mathcal{A}$（$\mu(N)=0$）使 $P$ 在 $X \setminus N$ 上处处成立，则称 $P$ 几乎处处成立，记作 $P$ 对 $\mu$ a.e. 成立。两个函数 $f = g$ a.e. 即 $\mu(\{x : f(x) \ne g(x)\}) = 0$。

性质

• 可数个零测集的并仍是零测集，因此几乎处处收敛的极限几乎处处唯一。
• $f = g$ a.e. 是函数空间上的等价关系，$L^p$ 空间的元素正是这种等价类。
• 单调收敛定理与控制收敛定理只要求几乎处处收敛（或单调）即可交换极限与积分。

例

• $\mathbb{Q}$ 是零测集，故狄利克雷函数 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 几乎处处等于 $0$；在 $L^p$ 中它与零函数是同一元素，但它处处不连续且 Riemann 不可积。
• $f_n \to f$ a.e. 指存在零测集 $N$，使得在 $X \setminus N$ 上 $f_n$ 逐点收敛到 $f$。

后续

几乎处处是$L^p$ 空间、控制收敛定理、Lebesgue 微分定理与 Radon-Nikodym 定理中贯穿始终的约定；把"逐点"弱化为"几乎处处"是分析标准化语言的第一步。