可测集

可测集是Lebesgue 外测度下"行为良好"的集合：它能把任意测试集合无歧义地切成两半，这就是 Carathéodory 条件。全体可测集构成 $\sigma$-代数，外测度限制在其上成为真正的测度（Lebesgue 测度），从而把测度公理落实到 $\mathbb{R}$ 上。需先掌握外测度与测度的定义与性质。

定义（Carathéodory 条件）

集合 $E \subseteq \mathbb{R}$ 称为 Lebesgue 可测集，若对任意 $A \subseteq \mathbb{R}$，

$$m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$$

此时记 $m(E) = m^*(E)$，称 $m$ 为 Lebesgue 测度。

性质

• 全体可测集 $\mathcal{L}$ 构成 $\sigma$-代数，包含所有开集、闭集与 Borel 集。
• 在 $\mathcal{L}$ 上 $m$ 满足可数可加性，$(\mathbb{R}, \mathcal{L}, m)$ 是测度空间。
• 完备性：零测集的子集仍可测。
• 正则性：对可测集 $E$，

$$m(E) = \inf\{m(U) : E \subseteq U,\ U \text{ 开}\} = \sup\{m(K) : K \subseteq E,\ K \text{ 紧}\}$$

• 平移、反射不变；Lebesgue 测度（适当归一化后）是 $\mathbb{R}$ 上唯一的平移不变测度。

不可测集

在承认选择公理时存在不可测集：把 $[0,1]$ 按"相差有理数"分类，从每个等价类取一点构成 Vitali 集。它表明外测度的次可数可加不能提升为可数可加，也说明测度只能定义在 $\sigma$-代数上而非所有子集上。

后续

可测集是可测函数的几何基础（函数可测等价于可测集的原像可测），也是Lebesgue 积分与 $L^p$ 空间发挥作用的对象；完备性与正则性是收敛定理和调和分析中的常用工具。