乘积测度

乘积测度把两个测度空间"相乘"，给直积空间 $X \times Y$ 上的集合赋予测度，是多维积分（重积分）的测度基础，也是Fubini定理把重积分化为累次积分的舞台。需先掌握测度的定义与性质与外测度（Carathéodory 扩张）。

定义

设 $(X, \mathcal{A}, \mu)$、$(Y, \mathcal{B}, \nu)$ 为 $\sigma$-有限测度空间。由可测矩形 $A \times B$（$A \in \mathcal{A}$，$B \in \mathcal{B}$）生成的 $\sigma$-代数 $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ 称为乘积 $\sigma$-代数。存在唯一的测度 $\mu \times \nu$（乘积测度）满足

$$\mu \times \nu\,(A \times B) = \mu(A)\,\nu(B)$$

存在与唯一性

• 可测矩形的有限不交并构成代数，映射 $A \times B \mapsto \mu(A)\nu(B)$ 在其上是预测度；由 Carathéodory 扩张定理（外测度方法）扩张到 $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$。
• 唯一性需要 $\sigma$-有限：乘积测度在矩形上的取值唯一决定其整体。

截面

对 $E \subseteq X \times Y$，定义 $x$-截面与 $y$-截面

$$E_x = \{y \in Y : (x, y) \in E\}, \qquad E^y = \{x \in X : (x, y) \in E\}$$

$\sigma$-有限时，可测集 $E$ 的截面均相应可测，且

$$\mu \times \nu\,(E) = \int_X \nu(E_x)\,d\mu(x) = \int_Y \mu(E^y)\,d\nu(y)$$

例

• $\mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue 测度正是 $n$ 个一维 Lebesgue 测度的乘积。
• 两个计数测度的乘积仍是（乘积空间上的）计数测度。
• 概率论中两个独立随机变量的联合分布是其边缘分布的乘积测度。

注意

完备测度的乘积不必完备（$\mathbb{R}^2$ 中"零测集 × 任意集"可能不在乘积 $\sigma$-代数内），需要时须另行完备化。重积分与累次积分的关系见Fubini定理。

后续

乘积测度支撑Fubini定理与重积分的严格理论，是卷积、调和分析与概率论联合分布的共同基础。