狄拉克测度

物理学常用的 Dirac $\delta$"函数"并非函数：它在一点取"无穷大"、其余为零，$\int \delta = 1$ 没有经典意义。狄拉克测度用测度语言给出严格定义：把全部质量集中在单点上，使 $\int f\,d\delta_a = f(a)$ 成为取值映射。它是最简单的原子测度，也是分布理论与卷积单位元的原型。需先掌握测度的定义与性质与可测函数的定义。

定义

设 $(X, \mathcal{A})$ 为可测空间，$a \in X$。对 $E \in \mathcal{A}$ 定义

$$\delta_a(E) = \begin{cases} 1, & a \in E \\ 0, & a \notin E \end{cases}$$

则 $\delta_a$ 是测度（若 $\mathcal{A}$ 为概率空间则 $\delta_a$ 是概率测度），称为集中在 $a$ 处的狄拉克测度。对可测函数 $f$，

$$\int_X f\,d\delta_a = f(a)$$

性质

• 原子性：$\delta_a$ 的支撑是单点集 $\{a\}$，是"点质量"（原子测度）。
• 奇异：对非原子测度 $\mu$（如 Lebesgue 测度），$\delta_a \perp \mu$：$\mu$ 在 $\{a\}$ 上为零而 $\delta_a$ 的全部质量集中在 $\{a\}$（见测度之间的关系）。
• 分布视角：作为广义函数，$\langle \delta_0, \varphi \rangle = \varphi(0)$；它是 $L^1(\mathbb{R})$ 卷积代数的单位元：$\delta * f = f$。
• 形式记号：$\int_{\mathbb{R}} f(x)\,\delta_a(dx) = f(a)$，常形式地写作 $\int_{\mathbb{R}} f(x)\delta(x-a)\,dx = f(a)$。

例

• 概率论：退化分布 $P(X = a) = 1$ 即 $\delta_a$。
• 物理：点电荷密度 $\rho = q\,\delta_{x_0}$。
• 傅里叶分析：$\widehat{\delta_0} = 1$（常值），$\delta$ 是常值函数的 Fourier 逆变换形式。

后续

狄拉克测度是奇异测度的典型例子，也是概率测度分解（原子部分）、偏微分方程 Green 函数，以及泛函分析中 $L^1$ 卷积代数单位化（见巴拿赫代数的单位化）的基础。