Radon-Nikodym定理

Radon–Nikodym 定理回答"一个测度何时能由另一个测度的密度积分表示"：若 $\nu\ll\mu$（测度绝对连续）且两者 $\sigma$-有限，则存在可测函数 $f\ge0$ 使 $\nu(E)=\int_E f\,d\mu$。它把测度之间的"绝对连续"兑现为具体的密度函数，是概率密度、条件期望与统计推断的语言基础，也是泛函分析中Riesz表示定理类结论的共同来源。需先掌握测度的定义与性质、绝对连续函数与Lebesgue积分的定义。

定理

设 $(X,\mathcal{A})$ 为可测空间，$\mu,\nu$ 是 $\sigma$-有限测度且 $\nu\ll\mu$（即 $\mu(E)=0\Rightarrow\nu(E)=0$）。则存在唯一（$\mu$-几乎处处意义下）可测函数 $f:X\to[0,\infty)$，使

$$\nu(E)=\int_E f\,d\mu,\qquad \forall E\in\mathcal{A}$$

称 $f$ 为 $\nu$ 关于 $\mu$ 的 Radon–Nikodym 导数，记作 $f=\dfrac{d\nu}{d\mu}$。

要点

• 唯一性：若 $f,g$ 均满足上式，则 $f=g$，$\mu$-a.e.。
• 链式法则：若 $\lambda\ll\mu\ll\nu$，则 $\dfrac{d\lambda}{d\nu}=\dfrac{d\lambda}{d\mu}\,\dfrac{d\mu}{d\nu}$（$\nu$-a.e.）。
• $\sigma$-有限不可省：取 $X=[0,1]$，$\mu$ 为计数测度、$\nu$ 为 Lebesgue 测度。$\nu\ll\mu$ 显然（$\mu(E)=0\Rightarrow E=\varnothing$）；但若 $\nu(E)=\int_E f\,d\mu$，单点集给出 $0=\nu(\{x\})=\int_{\{x\}} f\,d\mu=f(x)$，迫使 $f\equiv0$，与 $\nu([0,1])=1$ 矛盾。这里 $\mu$ 不是 $\sigma$-有限的。
• Lebesgue 分解定理：对任意 $\sigma$-有限测度 $\nu,\mu$，可唯一分解 $\nu=\nu_{ac}+\nu_s$，其中 $\nu_{ac}\ll\mu$、$\nu_s\perp\mu$；$\nu_{ac}$ 正是由 $\dfrac{d\nu_{ac}}{d\mu}$ 给出的部分。
• 与实函数绝对连续的联系：$[a,b]$ 上函数 $F$ 绝对连续 $\iff$ 其诱导的测度 $\nu_F((c,d])=F(d)-F(c)$ 关于 Lebesgue 测度绝对连续；此时 $\nu_F$ 的 R–N 导数恰为 $F'$，Lebesgue 形式的牛顿-莱布尼茨公式随之成立。

例

• 连续型随机变量的分布 $P_X$ 关于 Lebesgue 测度绝对连续，其 R–N 导数就是概率密度（见分布函数）。
• 离散与连续混合的分布整体上没有密度：按 Lebesgue 分解，离散部分关于计数测度、连续部分关于 Lebesgue 测度，需分别处理。

应用

• 概率论：条件期望的存在性由 R–N 定理保证；密度、似然比与统计推断都建立在其上。
• 泛函分析：$L^p$ 空间对偶的Riesz表示定理、金融数学中的等价鞅测度（Girsanov 定理）均依赖它。
• 测度论：测度的 Lebesgue 分解与有界变差函数的 Jordan 分解。

后续

Radon–Nikodym 定理是条件期望、$L^p$ 对偶理论与概率测度变换的基石，与Fubini定理并列为测度理论应用方向最核心的定理。